Verifique se as séries convergem ou divergem. Para as séries convergentes determine sua soma.
R:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para verificar se ela converge ou diverge e, no caso de convergência, determinar sua soma. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e soma telescópica.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes de
e termo constante, temos
Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Ao expandir essa soma, notamos que muitos termos se cancelam (efeito telescópico):
Passo 4
Portanto,
Ao fazermos
, os termos
e
tendem a zero, mostrando que a série converge. A soma é então
Resposta
A série converge e sua soma é
.