Verifique se as séries convergem ou divergem. Para as séries convergentes determine sua soma.
sumn=1^infty(1n(n+2)) R: 34

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty1n(n+2)
e pede para verificar se ela converge ou diverge e, no caso de convergência, determinar sua soma. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
1n(n+2)=An+Bn+2
Multiplicando ambos os lados por n(n+2) obtemos
1=A(n+2)+Bn
Comparando coeficientes de n e termo constante, temos
A+B=0, 2A=1 Longrightarrow A=tfrac12,;B=-tfrac12
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1n(n+2) =12l(1n-1n+2r)

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN=sumn=1^N1n(n+2) =12sumn=1^Nl(1n-1n+2r)
Ao expandir essa soma, notamos que muitos termos se cancelam (efeito telescópico):
sumn=1^Nl(1n-1n+2r) =l(11+12r)-l(1N+1+1N+2r)

Passo 4

Portanto,
SN =12l(11+12-1N+1-1N+2r)
Ao fazermos Ntoinfty, os termos 1N+1 e 1N+2 tendem a zero, mostrando que a série converge. A soma é então
limNtoinftySN =12l(1+tfrac12r) =12cdot32 =34

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac34.

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