Resolva os seguintes sistema de equações lineares pelo Método de Gauss sem e com pivoteamento parcial
c-2 x+3 y+z=-5 2 x+y-4 z=-9 4 x+10 y-6 z=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
-2x + 3y + z &= -5, 2x + y - 4z &= -9, 4x + 10y - 6z &= 2
pelo método de eliminação de Gauss sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para zerar sistematicamente as incógnitas, depois usar retro-substituição.

Passo 2

Eliminação sem pivoteamento: zerar x nas equações 2 e 3 usando a equação 1 como pivô.
Operações:
Eq2 Eq2 + Eq1 Rightarrow (2x + y -4z)+(-2x+3y+z)=(-9)+(-5)
Eq2' :;4y - 3z = -14
Eq3 Eq3 + 2,Eq1 Rightarrow (4x+10y-6z)+2(-2x+3y+z)=2+2(-5)
Eq3' :;16y -4z = -8

Passo 3

Continuar sem pivoteamento: zerar y na Eq3' usando Eq2' como pivô.
Multiplicamos Eq2' por 4 e subtraímos de Eq3':
4cdot(4y-3z= -14);Rightarrow;16y-12z=-56,
Eq3'' :;(16y-4z)-(16y-12z)=(-8)-(-56) ;Rightarrow;8z=48 ;Rightarrow;z=6

Passo 4

Retro‐substituição sem pivoteamento:
Substituir z=6 em Eq2':
4y - 3cdot6 = -14 ;Rightarrow;4y -18 = -14 ;Rightarrow;4y=4 ;Rightarrow;y=1
Substituir y=1, z=6 na Eq₁:
-2x +3cdot1 +6 = -5 ;Rightarrow;-2x +9=-5 ;Rightarrow;-2x=-14 ;Rightarrow;x=7

Passo 5

Eliminação com pivoteamento parcial: montar novamente a matriz aumentada e, na primeira coluna, escolher o maior elemento em módulo como pivô.
Os módulos na 1ª coluna são |-2|,|2|,|4|; o maior é |4|, da terceira linha.
Trocar linha 1⇄3:
(nova Eq1);&4x +10y -6z = 2, (nova Eq2);&2x + y -4z = -9, (nova Eq3);&-2x+3y + z = -5

Passo 6

Zerar x em Eq2 e Eq3 usando a nova Eq₁:
m21=24=tfrac12, Eq2Eq2 - tfrac12,Eq1 ;Rightarrow;-4y -z = -10
m31=-24=-tfrac12, Eq3Eq3 + tfrac12,Eq1 ;Rightarrow;8y -2z = -4

Passo 7

Pivoteamento parcial na segunda coluna entre Eq₂ e Eq₃: coeficientes são -4 e 8; o maior em módulo é 8. Trocar Eq₂⇄Eq₃:
(nova Eq2):;8y -2z = -4, (nova Eq3):;-4y - z = -10

Passo 8

Zerar y na Eq₃ usando a nova Eq₂:
m32=-48=-tfrac12, Eq3Eq3 + tfrac12,Eq2 ;Rightarrow;-2z = -12 ;Rightarrow;z=6
Retro‐substituição:
8y -2cdot6 = -4 ;Rightarrow;8y=8 ;Rightarrow;y=1,
4x+10cdot1 -6cdot6 =2 ;Rightarrow;4x -26 =2 ;Rightarrow;4x=28 ;Rightarrow;x=7

Resposta

(x,y,z)=(7,1,6) (tanto sem pivoteamento quanto com pivoteamento parcial).

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