Find the area of the region that lies inside both curves.
31. r=sin 2 theta, r=cos 2 theta

Passo 1

O enunciado pede a área da interseção das duas “rosas” definidas em coordenadas polares por
r = sin(2theta)
e
r = cos(2theta)
Conteúdo: uso de área em coordenadas polares e análise de sinais para determinar a região comum. Vamos precisar do uso da fórmula da área em polares
A = integraltheta1^theta2 integralr=0^r=rmax(theta) r,dr,dtheta = integraltheta1^theta212l(rmax(theta)r)^2 dtheta
e identificar em que intervalos de theta ambas as curvas são não-negativas e qual delas é menor.

Passo 2

Primeiro, para que exista região comum, precisamos de
sin(2theta)>=0 e cos(2theta)>=0,
pois r parte de zero. Essas duas condições ocorrem quando
2thetain[0,tfracpi2]mod 2pi Longrightarrow thetain[0,tfracpi4]mod pi
No intervalo [0,2pi) isso gera quatro subintervalos idênticos:
[0,tfracpi4],; [tfracpi2,tfrac3pi4],; [pi,tfrac5pi4],; [tfrac3pi2,tfrac7pi4]

Passo 3

Em cada um desses subintervalos, por exemplo em [0,tfracpi4], temos
sin(2theta)<=cos(2theta),
logo a fronteira comum é dada por
r = minl(sin(2theta),cos(2theta)r) = sin(2theta)
A área de uma dessas “folhas” da interseção é
A1 = integral0^pi412l(sin(2theta)r)^2 dtheta

Passo 4

Calculando A1:
A1 = 12integral0^pi4sin^2(2theta),dtheta = 12integral0^pi41-cos(4theta)2,dtheta = 14l[theta - sin(4theta)4r]0^pi4 = 14l(pi4 - 0r) = pi16

Passo 5

Como há quatro dessas folhas iguais, a área total da interseção é
A = 4,A1 = 4cdotpi16 = pi4

Resposta

pi4

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