Find the area of the region that lies inside both curves.
31.
31.
Passo 1
O enunciado pede a área da interseção das duas “rosas” definidas em coordenadas polares por
e
Conteúdo: uso de área em coordenadas polares e análise de sinais para determinar a região comum. Vamos precisar do uso da fórmula da área em polares
e identificar em que intervalos de
ambas as curvas são não-negativas e qual delas é menor.
Passo 2
Primeiro, para que exista região comum, precisamos de
pois
parte de zero. Essas duas condições ocorrem quando
No intervalo
isso gera quatro subintervalos idênticos:
Passo 3
Em cada um desses subintervalos, por exemplo em
, temos
logo a fronteira comum é dada por
A área de uma dessas “folhas” da interseção é
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Como há quatro dessas folhas iguais, a área total da interseção é