Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
28.
28.
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está dentro da curva
e fora da curva
.
Conteúdo: cálculo de área em coordenadas polares. Vamos precisar achar os pontos de interseção das duas curvas e usar a fórmula
Conteúdo: cálculo de área em coordenadas polares. Vamos precisar achar os pontos de interseção das duas curvas e usar a fórmula
Passo 2
Encontrar os ângulos de interseção resolvendo
de onde
ou
.
Nessa faixa vale
, então o intervalo de integração é esse.
Nessa faixa
Passo 3
Escrever a integral da área:
Passo 4
Simplificar o integrando. Temos
logo
Usando
,
então o integrando fica
Substituindo em
:
Passo 5
Calcular a integral:
Passo 6
Avaliar entre
e
:
para
,
,
logo
para
logo
para
,
,
Diferença:
Resposta
A área pedida é
.