Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
28. r=3 sin theta, r=2-sin theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro da curva ,r=3sintheta e fora da curva ,r=2-sintheta.
Conteúdo: cálculo de área em coordenadas polares. Vamos precisar achar os pontos de interseção das duas curvas e usar a fórmula
A=tfrac12integraltheta1^theta2l(r1^2 - r2^2r),dtheta

Passo 2

Encontrar os ângulos de interseção resolvendo
3sintheta = 2 - sintheta Longrightarrow 4sintheta = 2 Longrightarrow sintheta = tfrac12,
de onde
theta = tfracpi6 ou theta = tfrac5pi6.
Nessa faixa l[tfracpi6,tfrac5pi6r] vale 3sintheta>= 2-sintheta, então o intervalo de integração é esse.

Passo 3

Escrever a integral da área:
A = 12 integralpi/6^5pi/6 l[(3sintheta)^2 - (2 - sintheta)^2r],dtheta

Passo 4

Simplificar o integrando. Temos
(3sintheta)^2 = 9sin^2theta, (2 - sintheta)^2 = 4 - 4sintheta + sin^2theta,
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9sin^2theta - l(4 - 4sintheta + sin^2thetar) =8sin^2theta + 4sintheta -4
Usando sin^2theta = tfrac12(1 - cos2theta),
8sin^2theta = 4 - 4cos2theta,
então o integrando fica
4 - 4cos2theta + 4sintheta - 4 =4sintheta - 4cos2theta
Substituindo em A:
A = 12 integralpi/6^5pi/6 l(4sintheta - 4cos2thetar),dtheta = integralpi/6^5pi/6l(2sintheta -2cos2thetar),dtheta

Passo 5

Calcular a integral:
integrall(2sintheta -2cos2thetar),dtheta = -2costheta - sin2theta + C

Passo 6

Avaliar entre theta=tfracpi6 e theta=tfrac5pi6:
para theta=tfrac5pi6
costheta=-tfracraiz32, sin2theta=sinl(tfrac5pi3r)=-tfracraiz32,
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-2costheta - sin2theta = -2l(-tfracraiz32r) - l(-tfracraiz32r) = raiz3 + tfracraiz32 = tfrac3raiz32
para theta=tfracpi6
costheta=tfracraiz32, sin2theta=sinl(tfracpi3r)=tfracraiz32,
-2costheta - sin2theta = -2l(tfracraiz32r) - tfracraiz32 = -tfrac3raiz32
Diferença:
A = l[tfrac3raiz32 - l(-tfrac3raiz32r)r] = 3raiz3

Resposta

A área pedida é 3raiz3.

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