Find the area of the region that lies inside both curves.
32. r=3+2 cos theta, r=3+2 sin theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro de ambas as curvas polares
r1(theta)=3+2costheta, r2(theta)=3+2sintheta
O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula
A = 12 integraltheta1^theta2 l(min(r1(theta),r2(theta))r)^2,dtheta

Passo 2

Encontramos os ângulos em que as duas curvas se interceptam, isto é, r1=r2:
3+2costheta = 3+2sintheta ;Longrightarrow; costheta = sintheta ;Longrightarrow; theta = pi4, ;5pi4
Para theta em l[tfracpi4,tfrac5pi4r] temos r1<r2 (por exemplo em theta=pi), e fora desse intervalo r2<r1.

Passo 3

Escrevemos a área como soma de dois integrais, cada um de comprimento pi:
A = 12gl[ integralpi/4^5pi/4 l(3+2costhetar)^2 dtheta + l(integral5pi/4^2pi+integral0^pi/4r)l(3+2sinthetar)^2 dtheta gr]
Por periodicidade, ambos os termos têm comprimento de integração pi e podemos reescrevê-los como
I1 = integral0^pi l(3+2cosphir)^2 dphi, I2 = integral0^pi l(3+2sinphir)^2 dphi

Passo 4

Calculamos I1 e I2:
I1 = integral0^pi l(9 +12cosphi +4cos^2phir),dphi = 9pi +12underbraceintegral0^picosphi,dphi0 +4underbraceintegral0^picos^2phi,dphipi/2 =9pi +0 +4cdotpi2 =11pi,
I2 = integral0^pi l(9 +12sinphi +4sin^2phir),dphi =9pi +12underbraceintegral0^pisinphi,dphi2 +4underbraceintegral0^pisin^2phi,dphipi/2 =9pi +24 +4cdotpi2 =11pi +24

Passo 5

Substituindo em A:
A = 12l(I1 + I2r) = 12l(11pi + (11pi+24)r) = 12,(22pi+24) =11pi +12

Resposta

11pi + 12

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