Find the area of the region that lies inside both curves.
33. r^2=sin 2 theta, r^2=cos 2 theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro de ambas as curvas
r^2=sin2theta
e
r^2=cos2theta
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
área=integraltheta1^theta2!integral0^rmax(theta)r,dr,dtheta =integraltheta1^theta212,rmax(theta)^2,dtheta á

Passo 2

Para estar dentro de ambas as curvas precisamos
r^2<=sin2theta e r^2<=cos2theta,
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rmax^2(theta)=minsin2theta,;cos2theta
Além disso r real exige sin2theta>=0 e cos2theta>=0, ou seja
2thetain[0,pi/2];Longrightarrow;thetain[0,pi/4]
Por simetria haverá um segundo lóbulo idêntico para thetain[pi,5pi/4].

Passo 3

Encontramos o ponto onde as duas curvas se cruzam, isto é
sin2theta=cos2theta Longrightarrow tan2theta=1 Longrightarrow 2theta=tfracpi4 Longrightarrow theta=tfracpi8
Para thetain[0,pi/8] vale sin2theta<cos2theta, e para thetain[pi/8,pi/4] vale cos2theta<sin2theta.

Passo 4

A área de um lóbulo (no intervalo [0,pi/4]) é
Alobo =integral0^pi/812,sin2theta,dtheta +integralpi/8^pi/412,cos2theta,dtheta

Passo 5

Calculando as integrais:
integral0^pi/8sin2theta,dtheta =l[-tfrac12cos2thetar]0^pi/8 =2-raiz24,
integralpi/8^pi/4cos2theta,dtheta =l[tfrac12sin2thetar]pi/8^pi/4 =2-raiz24
Somando e multiplicando por tfrac12
Alobo =tfrac12l(tfrac2-raiz24+tfrac2-raiz24r) =2-raiz24

Passo 6

Há dois lóbulos idênticos (em [0,pi/4] e em [pi,5pi/4]), então a área total é
2,Alobo =2cdot2-raiz24 =2-raiz22 =1-1raiz2

Resposta

1-1raiz2

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