Find the area of the region that lies inside both curves.
33.
33.
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está dentro de ambas as curvas
e
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
Passo 2
Para estar dentro de ambas as curvas precisamos
logo
Além disso
real exige
e
, ou seja
Por simetria haverá um segundo lóbulo idêntico para
.
Passo 3
Encontramos o ponto onde as duas curvas se cruzam, isto é
Para
vale
, e para
vale
.
Passo 4
A área de um lóbulo (no intervalo
) é
Passo 5
Calculando as integrais:
Somando e multiplicando por
dá
Passo 6
Há dois lóbulos idênticos (em
e em
), então a área total é