Find the area of the region that lies inside both curves.
34. r=a sin theta, r=b cos theta, a>0, b>0

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum às curvas polares
r = a sintheta, r = b costheta,
com a>0 e b>0.
Para resolver, vamos ( 1) encontrar o ângulo de interseção theta=phi, ( 2) determinar em que intervalo de theta cada curva domina (isto é, qual dá o menor r), e ( 3) usar a fórmula da área em coordenadas polares
A = 12 integraltheta1^theta2 l[r(theta)r]^2,dtheta

Passo 2

Encontramos phi tal que
a sinphi = b cosphi ;Longrightarrow; tanphi = b a ;Longrightarrow; phi = arctan!l(tfrac b ar)
Para 0<=theta<=pi/2, temos sintheta>=0 e costheta>=0, e verifica\mbox{‐}se que
asintheta <= bcostheta quando 0<=theta<=phi,
enquanto
bcostheta <= asintheta quando phi<=theta<=pi2
Logo, a regi~ao comum \mbox{‐} dada por
r <= min,asintheta,;bcostheta = asintheta, & 0<=theta<=phi, bcostheta, & phi<=theta<=tfracpi2

Passo 3

A área pedida é
A = 12 integral0^phi (asintheta)^2,dtheta + 12 integralphi^pi/2 (bcostheta)^2,dtheta

Passo 4

Usamos as identidades
integral sin^2theta,dtheta = theta - sinthetacostheta2, integral cos^2theta,dtheta = theta + sinthetacostheta2,
al’em de
sinphicosphi = aba^2+b^2 e phi=arctan(b/a).
Ap’os calcular e simplificar, chega\mbox{‐}se a forma sim’etrica
A = 14l[a^2,arctan!l(tfrac b ar) + b^2,arctan!l(tfrac a br) - a,br]

Resposta

boxed A = 14l[a^2,arctan!l(tfrac b ar) + b^2,arctan!l(tfrac a br) - a,br]

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