Determine as assíntotas vertical e horizontal da curva f(x)=2-x(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=2-x(x-1)^2 as assíntotas verticais e horizontais. Vamos usar limites laterais em pontos de descontinuidade para achar a assíntota vertical e limites no infinito para achar a assíntota horizontal.

Passo 2

O denominador zera em x=1, onde a função não está definida. Para ver se há assíntota vertical, calculamos
limxto12-x(x-1)^2
Quando xto1, o numerador tende a 2-1=1 enquanto (x-1)^2to0^+, de modo que o quociente tende a +infty. Logo, x=1 é assíntota vertical.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, avaliamos os limites em xto+infty e xto-infty:
limxtopminfty2-x(x-1)^2
Como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), o valor da fração tende a zero em ambas as direções. Portanto y=0 é assíntota horizontal.

Resposta

A assíntota vertical é x=1 e a assíntota horizontal é y=0.

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