Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
24. r=1-sin theta, r=1

Passo 1

Resumindo, temos duas curvas em coordenadas polares:
r = 1 - sintheta
e
r = 1
Queremos a região que está “dentro” de r=1-sintheta e “fora” de r=1. Para isso vamos usar a fórmula da área em polares para uma região entre duas curvas:
A = 12 integraltheta1^theta2 l(rexterno^2 - rinterno^2r),dtheta

Passo 2

Precisamos determinar para quais theta vale 1-sintheta>=1 (para que o “lado externo” seja de fato r=1-sintheta e o interno r=1).
1-sintheta >= 1 Longrightarrow -sintheta >= 0 Longrightarrow sintheta <= 0
Isto ocorre quando thetain[pi,2pi]. As curvas se interceptam onde 1-sintheta=1, ou seja sintheta=0, em theta=pi e theta=2pi.

Passo 3

Para thetain[pi,2pi] temos rext=1-sintheta e rint=1. Logo
A = 12 integralpi^2pi l[(1-sintheta)^2 - 1^2r],dtheta = 12 integralpi^2pi l[1 - 2sintheta + sin^2theta - 1r],dtheta = 12 integralpi^2pi l[-2sintheta + sin^2thetar],dtheta

Passo 4

Use sin^2theta=(1-cos2theta)/2. Então
A = 12 integralpi^2pi l[-2sintheta + 1-cos2theta2r]dtheta = 12l[ integralpi^2pi(-2sintheta),dtheta + 12integralpi^2pi1,dtheta - 12integralpi^2picos2theta,dtheta r]
Calcule cada parte:
integralpi^2pi(-2sintheta),dtheta =2l[costhetar]pi^2pi =2(1-(-1))=4,
12integralpi^2pi1,dtheta =12(,2pi-pi,)=pi2,
integralpi^2picos2theta,dtheta =lsin2theta2r|pi^2pi=0
Logo
A = 12l[4+pi2-0r] =2+pi4

Resposta

A área da região é
2 + pi4

Exercícios relacionados