Calcule, se existir, os seguintes limites.
lim x infty sin (2+3 x-pi x^25 x-4 x^2)

Passo 1

O problema pede para calcular
limxtoinftysinl(tfrac2+3x-pi x^25x-4x^2r).
O conteúdo é limite de função composta: usaremos a continuidade de sin e o cálculo do limite da razão de polinômios.

Passo 2

Como sin é contínua em todo R, se
L = limxtoinfty2+3x-pi x^25x-4x^2
existe e é finito, então
limxtoinftysinl(2+3x-pi x^25x-4x^2r) =sinl(Lr)

Passo 3

Para achar
L=limxtoinfty2+3x-pi x^25x-4x^2,
dividimos numerador e denominador por x^2:
2+3x-pi x^25x-4x^2 =tfrac2x^2+tfrac3x-pitfrac5x-4
À medida que xtoinfty, os termos tfrac2x^2, tfrac3x e tfrac5x vão a zero, logo
L=0+0-pi0-4=-pi-4=pi4

Passo 4

Como
L=pi4
e sin é contínua, concluímos
limxtoinftysinl(2+3x-pi x^25x-4x^2r) =sinl(pi4r) =raiz22

Resposta

raiz22

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