Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
26. r=2+sin theta, r=3 sin theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro da curva
r = 2 + sintheta
e fora da curva
r = 3sintheta
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
Área = tfrac12integralalpha^betar(theta)^2,dtheta Á

Passo 2

Primeiro, determinamos se as curvas se intersectam e qual fica “por fora”. Igualando
2 + sintheta = 3sintheta
vemos que
2 = 2sintheta Longrightarrow sintheta = 1 Longrightarrow theta = tfracpi2
Nesse único ponto (theta=pi/2) ambas têm r=3. Para todo theta, verifica-se que
2 + sintheta ;>=; 3sintheta,
logo o limacon r=2+sintheta envolve sempre a região do círculo r=3sintheta. Portanto a região pedida é simplesmente a área do limacon menos a área do círculo.

Passo 3

Calculamos a área do limacon r=2+sintheta por
Arm limo = tfrac12 integral0^2pi l(2+sinthetar)^2 dtheta = tfrac12integral0^2pil(4 +4sintheta +sin^2thetar)dtheta
Como integral0^2pisintheta,dtheta=0 e integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi, vem
Arm limo = tfrac12l(4cdot2pi +0 +pir) = tfrac12,(8pi+pi) = tfrac9pi2

Passo 4

A curva r=3sintheta é um círculo de raio 1,5, cuja área já conhecemos:
Arm circ = pi,(1,5)^2 = tfrac9pi4
Ou, via polar:
Arm circ = tfrac12integral0^pi(3sintheta)^2dtheta = tfrac92integral0^pisin^2theta,dtheta = tfrac92cdottfracpi2 = tfrac9pi4

Passo 5

A área desejada é
A = Arm limo - Arm circ = tfrac9pi2 - tfrac9pi4 = tfrac9pi4

Resposta

9pi4

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