Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
27. r=3 cos theta, r=1+cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro da curva r=3costheta e fora da curva r=1+costheta. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A = 12integralthetaa^thetabl(router^2 - rinner^2r),dtheta

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção das duas curvas, resolvendo
3costheta = 1 + costheta
2costheta = 1
costheta = 12
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theta = pm pi3

Passo 3

Precisamos determinar em que intervalo de theta a curva r=3costheta está por fora de r=1+costheta. Isso ocorre quando
3costheta >= 1+costheta
2costheta >= 1
costheta >= 12
portanto -tfracpi3<=theta<=tfracpi3. Nesse intervalo, o “raio exterior” é r1=3costheta e o “raio interior” é r2=1+costheta.

Passo 4

Montamos a integral de área como
A = 12 integral-pi/3^pi/3l[(3costheta)^2 - (1+costheta)^2r],dtheta = 12 integral-pi/3^pi/3l(9cos^2theta - (1+2costheta+cos^2theta)r),dtheta
= 12 integral-pi/3^pi/3l(8cos^2theta -2costheta -1r),dtheta

Passo 5

Calculemos cada parte:
  1. integralcos^2theta,dtheta = theta2 + sin2theta4
  2. integralcostheta,dtheta = sintheta
  3. integral 1,dtheta = theta
Então um antiderivado de 8cos^2theta -2costheta -1 é
4theta + 2sin2theta ;-;2sintheta ;-;theta = 3theta +2sin2theta -2sintheta
Avaliando de -pi/3 a pi/3
l[3theta +2sin2theta -2sinthetar]-pi/3^pi/3 = (pi) -(-pi) = 2pi
Multiplicando por tfrac12 resulta
A = 12 cdot 2pi = pi

Resposta

pi

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