[1,0 ponto] (2) Mostre que lim (x, y) (0,0) 5 x^2 y^3(x+2 y^3)^2+3 x^2 y^3 não existe.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,0) 5x^2y^3l(x+2y^3r)^2 +3x^2y^3
não existe. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis, e o método principal é avaliar a expressão ao longo de caminhos diferentes que conduzam a (0,0). Se obtivermos valores finais distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Vejamos primeiro o caminho y=0. Substituindo em f(x,y) obtemos
f(x,0)=5x^2cdot0^3(x+2cdot0^3)^2+3x^2cdot0^3 =0x^2=0
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lim(x,y)to(0,0),,y=0f(x,y)=0

Passo 3

Agora escolhemos o caminho definido por x+2y^3=0, isto é, x=-2y^3. Substituindo em f(x,y):
numerador = 5(-2y^3)^2,y^3 =5cdot4,y^6,y^3 =20,y^9,
denominador = (,x+2y^3,)^2 +3x^2y^3 =0^2+3,( -2y^3)^2,y^3 =3cdot4,y^6,y^3=12,y^9
Portanto
f(-2y^3,y)=20,y^912,y^9=2012=53,
e assim
lim(x,y)to(0,0),,x=-2y^3f(x,y)=53

Passo 4

Como ao longo de y=0 o limite vale 0 e ao longo de x=-2y^3 vale tfrac53, os dois resultados discordam. Por isso o limite original não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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