Find the derivative of the function at P_{0} in the direction of \mathbf{A}.
g(x, y, z)=3 e^{x} \cos y z, \quad P_{0}(0,0,0), \quad \mathbf{A}=2 \mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
g(x,y,z)=3e^{x}\cos(yz)
no ponto P_{0}(0,0,0) na direção do vetor \mathbf{A}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
Para isso, vamos usar que a derivada direcional de g em P_{0} na direção do vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}g(P_{0}) = \nabla g(P_{0}) \cdot \mathbf{u}.

Passo 2

Calculamos o gradiente \nabla g=(\partial_x g,\partial_y g,\partial_z g).
\partial_x g = 3e^{x}\cos(yz), \quad \partial_y g = 3e^{x}\bigl(-\sin(yz)\bigr)\,z, \quad \partial_z g = 3e^{x}\bigl(-\sin(yz)\bigr)\,y.

Passo 3

Avaliaremos \nabla g em P_{0}(0,0,0). Como e^{0}=1, \cos(0)=1 e \sin(0)=0, vem
\nabla g(0,0,0) =\bigl(3\cdot1\cdot1,\;3\cdot1\cdot(-0)\cdot0,\;3\cdot1\cdot(-0)\cdot0\bigr) =(3,0,0).

Passo 4

Agora obtemos o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{A}=(2,1,-2).
O módulo de \mathbf{A} é
\|\mathbf{A}\| = \sqrt{2^{2}+1^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{4+1+4}=3,
logo
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{A}}{\|\mathbf{A}\|} = \Bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}g(0,0,0) = \nabla g(0,0,0)\cdot \mathbf{u} = (3,0,0)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{2}{3}\Bigr) =3\cdot\tfrac{2}{3}=2.

Resposta

A derivada direcional de g em P_{0} na direção de \mathbf{A} é 2.

Exercícios relacionados