Find the derivative of the function at P_{0} in the direction of \mathbf{A}.
f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}-3 z^{2}, \quad P_{0}(1,1,1), \quad \mathbf{A}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função \,f(x,y,z)=x^2+2y^2-3z^2, o ponto inicial \,P_0=(1,1,1) e o vetor direção \,\mathbf{A}=(1,1,1). Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente de f e do vetor unitário na direção de \mathbf{A}.\n

Passo 2

O gradiente de f é definido por \nabla f=\bigl(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z\bigr). Calculando as derivadas parciais,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=4y,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=-6z,
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\nabla f(x,y,z)=(2x,4y,-6z).\n

Passo 3

Avaliando o gradiente em P_0=(1,1,1), obtemos
\nabla f(1,1,1)=(2\cdot1,4\cdot1,-6\cdot1)=(2,4,-6).\n

Passo 4

O vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{A}=(1,1,1) é dado por \mathbf{A}/\|\mathbf{A}\|, onde \|\mathbf{A}\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}. Assim,
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1).\n

Passo 5

A derivada direcional de f em P_0 na direção de \mathbf{A} é o produto escalar \nabla f(P_0)\cdot\mathbf{u}. Portanto,
D_{\mathbf{A}}f(P_0) =(2,4,-6)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1) =\frac{2+4-6}{\sqrt{3}} =\frac{0}{\sqrt{3}} =0.\n

Resposta

A derivada direcional é 0.

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