Find the derivative of the function at P_{0} in the direction of \mathbf{A}.
h(x, y, z)=\cos x y+e^{y z}+\ln z x, \quad P_{0}(1,0,1 / 2)\(,\mathbf{A}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}+2 \mathbf{k})

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
h(x,y,z)=\cos(xy)+e^{yz}+\ln(xz)
no ponto P_{0}=(1,0,\tfrac12) na direção do vetor \mathbf{A}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}.
Conteúdo: usar o gradiente de h e a fórmula
D_{\mathbf{u}}h(P_{0})=\nabla h(P_{0})\cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário em direção a \mathbf{A}.

Passo 2

Primeiro, obtém-se o gradiente de h.
Como
h(x,y,z)=\cos(xy)+e^{yz}+\ln(xz),
temos
\frac{\partial h}{\partial x} =-y\sin(xy)+\frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial h}{\partial y} =-x\sin(xy)+z\,e^{yz}, \qquad \frac{\partial h}{\partial z} =y\,e^{yz}+\frac{1}{z}.

Passo 3

Avalia-se \nabla h em P_{0}=(1,0,\tfrac12).
Como \sin(1\cdot0)=0 e e^{0}=1, segue
\frac{\partial h}{\partial x}(P_{0}) = -0+\frac{1}{1}=1, \quad \frac{\partial h}{\partial y}(P_{0}) = -0+\tfrac12\cdot1=\frac12, \quad \frac{\partial h}{\partial z}(P_{0}) = 0+\frac{1}{\tfrac12}=2.
Logo
\nabla h(P_{0}) = \bigl(1,\tfrac12,2\bigr).

Passo 4

O vetor dado é \mathbf{A}=(1,2,2). Seu módulo é
\|\mathbf{A}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3,
portanto o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{A}}{\|\mathbf{A}\|} =\Bigl(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}h(P_{0}) =\nabla h(P_{0})\cdot\mathbf{u} =1\cdot\tfrac13+\tfrac12\cdot\tfrac23+2\cdot\tfrac23 =\tfrac13+\tfrac13+\tfrac{4}{3} =2.

Resposta

O valor da derivada direcional é 2.

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