Find the derivative of the function at P_{0} in the direction of \mathbf{A}.
f(x, y, z)=x y+y z+z x, \quad P_{0}(1,-1,2), \quad \mathbf{A}=3 \mathbf{i}+6 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=x y + y z + z x em P_{0}(1,-1,2) na direção do vetor \mathbf A = 3\,\mathbf i + 6\,\mathbf j -2\,\mathbf k. Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional, que é dado por
D_{\mathbf u}f(P_{0}) = \nabla f(P_{0}) \cdot \mathbf u,
onde \mathbf u é o vetor unitário na direção de \mathbf A.

Passo 2

Calculamos primeiro o gradiente de f. Como
f(x,y,z) = x y + y z + z x,
temos
\nabla f(x,y,z) = \bigl(\partial_{x}f,\partial_{y}f,\partial_{z}f\bigr) = (y+z,\;x+z,\;x+y).

Passo 3

Avaliaremos esse gradiente em P_{0}(1,-1,2). Substituindo x=1, y=-1 e z=2 obtemos
\nabla f(1,-1,2) = \bigl((-1)+2,\;1+2,\;1+(-1)\bigr) = (1,\;3,\;0).

Passo 4

Agora precisamos do vetor unitário \mathbf u na direção de \mathbf A. Primeiro o módulo de \mathbf A:
\|\mathbf A\| = \sqrt{3^2 +6^2 +(-2)^2} = \sqrt{9+36+4} =7.
Logo
\mathbf u = \frac{\mathbf A}{\|\mathbf A\|} = \frac{1}{7}(3,6,-2).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre \nabla f(P_{0}) e \mathbf u:
D_{\mathbf u}f(P_{0}) = (1,3,0)\cdot \frac{1}{7}(3,6,-2) = \frac{1\cdot3 + 3\cdot6 + 0\cdot(-2)}{7} = \frac{3 +18 +0}{7} =3.

Resposta

A derivada de f em P_{0} na direção de \mathbf A é 3.

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