Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at P_{0}. Then find the derivatives of the functions in these directions.
f(x, y)=x^{2} y+e^{x y} \sin y, \quad P_{0}(1,0)

Passo 1

O enunciado pede as direções de maior crescimento e de maior decaimento de f(x,y)=x^{2}y+e^{xy}\sin y em P_{0}(1,0), e as respectivas derivadas direcionais. Para isso vamos usar o gradiente de f, pois ele aponta na direção de maior aumento e seu oposto na de maior decaimento, e a derivada direcional nessa direção é o módulo do gradiente.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =2xy+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\sin y\bigr) =2xy+y\,e^{xy}\sin y,
\frac{\partial f}{\partial y} =x^{2}+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\sin y\bigr) =x^{2}+e^{xy}\cos y +x\,e^{xy}\sin y.

Passo 3

Avaliar o gradiente em P_{0}(1,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) =2\cdot1\cdot0+0\cdot e^{0}\sin0=0,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) =1^{2}+e^{0}\cos0+1\cdot e^{0}\sin0 =1+1+0=2.
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\nabla f(1,0)=(0,2), \quad \|\nabla f(1,0)\|=2.

Passo 4

A direção de maior crescimento é o vetor gradiente normalizado:
u=\frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|} =\bigl(0,1\bigr),
e a derivada direcional nessa direção é
D_{u}f(1,0)=\|\nabla f(1,0)\|=2.

Passo 5

A direção de maior decaimento é o oposto de u,
-v=-u=\bigl(0,-1\bigr),
e a derivada direcional nessa direção é
D_{-u}f(1,0)=-\|\nabla f(1,0)\|=-2.

Resposta

Direção de maior crescimento: (0,1), com derivada direcional 2.
Direção de maior decaimento: (0,-1), com derivada direcional -2.

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