Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at
. Then find the derivatives of the functions in these directions.
Passo 1
O enunciado pede as direções de maior crescimento e de maior decaimento de
em
, e as respectivas derivadas direcionais. Para isso vamos usar o gradiente de
, pois ele aponta na direção de maior aumento e seu oposto na de maior decaimento, e a derivada direcional nessa direção é o módulo do gradiente.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
Avaliar o gradiente em
:
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Passo 4
A direção de maior crescimento é o vetor gradiente normalizado:
e a derivada direcional nessa direção é
Passo 5
A direção de maior decaimento é o oposto de
,
e a derivada direcional nessa direção é
Resposta
Direção de maior crescimento:
, com derivada direcional
.
Direção de maior decaimento: , com derivada direcional
.
Direção de maior decaimento: