Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at
. Then find the derivatives of the functions in these directions.
Passo 1
Estamos com a função
e o ponto
. O que precisamos é encontrar as direções em que
cresce e decresce mais rápido em
e calcular as derivadas direcionais nessas direções. Para isso vamos usar o gradiente e a definição
sabendo que o máximo ocorre em
paralelo a
e o mínimo em
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro escrevemos o gradiente:
Em seguida
,
,
.
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Logo
Passo 4
A direção de maior crescimento é a do próprio gradiente e a de maior decréscimo é a oposta. Para ter direções unitárias, calculamos
Assim as direções unitárias são
Passo 5
A derivada direcional máxima vale
e a mínima vale
Resposta
Direção de crescimento máximo:
Direção de decréscimo máximo: