Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at P_{0}. Then find the derivatives of the functions in these directions.
f(x, y, z)=(x / y)-y z, \quad P_{0}(4,1,1)

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y,z)=\frac{x}{y}-y\,z
e o ponto P_{0}(4,1,1). O que precisamos é encontrar as direções em que f cresce e decresce mais rápido em P_{0} e calcular as derivadas direcionais nessas direções. Para isso vamos usar o gradiente e a definição
D_{\mathbf u}f(P_{0})=\nabla f(P_{0})\cdot\mathbf u,
sabendo que o máximo ocorre em \mathbf u paralelo a \nabla f(P_{0}) e o mínimo em -\nabla f(P_{0}).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Primeiro escrevemos o gradiente:
\nabla f(x,y,z)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
Em seguida
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{y},
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}-z,
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=-y.

Passo 3

Agora avaliamos em P_{0}(4,1,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(4,1,1)=1,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(4,1,1)=-\frac{4}{1^{2}}-1=-5,\quad \frac{\partial f}{\partial z}(4,1,1)=-1.
Logo
\nabla f(P_{0})=(1,\,-5,\,-1).

Passo 4

A direção de maior crescimento é a do próprio gradiente e a de maior decréscimo é a oposta. Para ter direções unitárias, calculamos
\|\nabla f(P_{0})\|=\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}+(-1)^{2}} =\sqrt{27}=3\sqrt{3}.
Assim as direções unitárias são
\mathbf u_{+}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\,(1,\,-5,\,-1), \qquad \mathbf u_{-}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\,(-1,\,5,\,1).

Passo 5

A derivada direcional máxima vale
D_{\mathbf u_{+}}f(P_{0}) =\nabla f(P_{0})\cdot \mathbf u_{+} =\|\nabla f(P_{0})\| =3\sqrt{3},
e a mínima vale
D_{\mathbf u_{-}}f(P_{0}) =\nabla f(P_{0})\cdot \mathbf u_{-} =-\|\nabla f(P_{0})\| =-3\sqrt{3}.

Resposta

Direção de crescimento máximo:
\mathbf u_{+}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\,(1,\,-5,\,-1), \quad D_{\mathbf u_{+}}f(P_{0})=3\sqrt{3}.
Direção de decréscimo máximo:
\mathbf u_{-}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\,(-1,\,5,\,1), \quad D_{\mathbf u_{-}}f(P_{0})=-3\sqrt{3}.

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