Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at P_{0}. Then find the derivatives of the functions in these directions. g(x, y, z)=x e^{y}+z^{2}, \quad P_{0}(1, \ln 2,1 / 2)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
g(x,y,z) = x e^{y} + z^{2}
e o ponto P_{0} = (1,\ln 2,1/2).
O que se pede é encontrar em que direções, em P_{0}, a função cresce e decresce mais rapidamente, e quais são as derivadas direcionais nesses sentidos. Vamos usar o gradiente e a relação entre gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Em cálculo vetorial, a direção de crescimento mais rápido de uma função real g num ponto é dada pelo vetor gradiente \nabla g naquele ponto, e o valor máximo da derivada direcional é o módulo \|\nabla g\|. A direção de decrescimento mais rápido é o sentido oposto de \nabla g, com derivada igual a -\|\nabla g\|.