Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at
. Then find the derivatives of the functions in these directions.
Passo 1
O enunciado pede as direções em que a função
cresce e decresce mais rapidamente em
, e os correspondentes derivados direcionais. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional: a direção de maior crescimento é a do gradiente, e seu módulo dá o valor da derivada nessa direção.
Passo 2
Para facilitar, note que
Logo podemos escrever
Passo 3
Calculamos o gradiente compondo derivadas parciais:
Portanto
Passo 4
No ponto
isso vale
Passo 5
A direção de maior crescimento é o vetor gradiente normalizado:
A direção de descida mais rápida é o oposto,
Passo 6
A derivada direcional em direção a um vetor unitário
é
Para
temos
Para
fica
Resposta
A direção de crescimento mais rápido em
é
com derivada direcional
.
A direção de decrescimento mais rápido é
A direção de decrescimento mais rápido é
com derivada direcional
.