Find the directions in which the functions increase and decrease most rapidly at P_{0}. Then find the derivatives of the functions in these directions.
f(x, y, z)=\ln x y+\ln y z+\ln x z, \quad P_{0}(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede as direções em que a função
f(x,y,z)=\ln(xy)+\ln(yz)+\ln(xz)
cresce e decresce mais rapidamente em P_{0}(1,1,1), e os correspondentes derivados direcionais. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional: a direção de maior crescimento é a do gradiente, e seu módulo dá o valor da derivada nessa direção.

Passo 2

Para facilitar, note que
\ln(xy)+\ln(yz)+\ln(xz)=\ln x+\ln y+\ln y+\ln z+\ln x+\ln z=2\bigl(\ln x+\ln y+\ln z\bigr).
Logo podemos escrever
\;f(x,y,z)=2\bigl(\ln x+\ln y+\ln z\bigr).

Passo 3

Calculamos o gradiente compondo derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} =2\cdot\frac1x,\quad \frac{\partial f}{\partial y} =2\cdot\frac1y,\quad \frac{\partial f}{\partial z} =2\cdot\frac1z.
Portanto
\nabla f(x,y,z) =2\Bigl(\tfrac1x,\tfrac1y,\tfrac1z\Bigr).

Passo 4

No ponto P_{0}(1,1,1) isso vale
\nabla f(1,1,1) =2\,(1,1,1)=(2,2,2).

Passo 5

A direção de maior crescimento é o vetor gradiente normalizado:
u_{\max} =\frac{\nabla f(1,1,1)}{\|\nabla f(1,1,1)\|} =\frac{(2,2,2)}{\sqrt{2^2+2^2+2^2}} =\frac{(2,2,2)}{2\sqrt3} =\frac{(1,1,1)}{\sqrt3}.
A direção de descida mais rápida é o oposto,
u_{\min} =-\frac{(1,1,1)}{\sqrt3}.

Passo 6

A derivada direcional em direção a um vetor unitário u é
D_{u}f(1,1,1)=\nabla f(1,1,1)\cdot u.
Para u_{\max}=(1,1,1)/\sqrt3 temos
D_{u_{\max}}f(1,1,1) =(2,2,2)\cdot\frac{(1,1,1)}{\sqrt3} =\frac{6}{\sqrt3} =2\sqrt3.
Para u_{\min}=- (1,1,1)/\sqrt3 fica
D_{u_{\min}}f(1,1,1) =-2\sqrt3.

Resposta

A direção de crescimento mais rápido em P_{0} é
u_{\max}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt3},
com derivada direcional 2\sqrt3.
A direção de decrescimento mais rápido é
u_{\min}=-\frac{(1,1,1)}{\sqrt3},
com derivada direcional -2\sqrt3.

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