Directional derivatives and partial derivatives Assuming that the necessary derivatives of
are defined, how are
,
, and
related to
, and
? Give reasons for your answer.
Passo 1
O enunciado pede para relacionar as derivadas direcionais de
nas direções dos vetores unitários
,
e
com as derivadas parciais
,
e
. Vamos usar a definição de derivada direcional e a propriedade do gradiente.
Passo 2
A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é
e, se
é diferenciável, vale também
Passo 3
O gradiente de
é o vetor
onde
,
e
.
Passo 4
Para
temos
Passo 5
De modo análogo, para
e
obtemos