Find the energy stored in a uniformly charged solid sphere of radius R and charge q.
Use Eq. 2.45. Dont forget to integrate over all space.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada com raio R e carga total q. Isso está relacionado à matéria de eletrostática, especificamente à energia potencial elétrica armazenada em um campo elétrico. Para resolver, vamos precisar usar a equação que relaciona a energia com o campo elétrico e integrar essa energia por todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico dentro e fora da esfera carregada. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos de forma simétrica.
Dentro da esfera ( r < R), a densidade de carga rho é uniforme e igual a rho = q43pi R^3. Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico dentro é:
Edentro(r) = q r4pi epsilon0 R^3
Fora da esfera ( r >= R), a esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro, então:
Efora(r) = q4pi epsilon0 r^2

Passo 3

Agora que temos o campo elétrico em todas as regiões, vamos calcular a energia armazenada no campo. A energia elétrica por unidade de volume é dada por:
u = 12 epsilon0 E^2
Para encontrar a energia total U, integramos essa densidade de energia sobre todo o espaço:
U = 12 epsilon0 integral E^2 , dV

Passo 4

Vamos dividir a integração em duas partes: dentro da esfera ( 0 a R) e fora da esfera ( R a infty).
Dentro da esfera:
Udentro = 12 epsilon0 integral0^R ( q r4pi epsilon0 R^3 )^2 4pi r^2 , dr
Simplificando:
Udentro = q^232pi^2 epsilon0 R^6 cdot 4pi integral0^R r^4 , dr = q^28pi epsilon0 R^6 cdot R^55 = q^240pi epsilon0 R
Fora da esfera:
Ufora = 12 epsilon0 integralR^infty ( q4pi epsilon0 r^2 )^2 4pi r^2 , dr
Simplificando:
Ufora = q^232pi^2 epsilon0 cdot 4pi integralR^infty 1r^2 , dr = q^28pi epsilon0 cdot [ -1r ]R^infty = q^28pi epsilon0 R

Passo 5

Finalmente, somamos as duas energias para obter a energia total armazenada na esfera:
U = Udentro + Ufora = q^240pi epsilon0 R + q^28pi epsilon0 R = q^25pi epsilon0 R

Resposta

A energia armazenada na esfera é:
U = 3 q^220 pi epsilon0 R

Exercícios relacionados