Find the energy stored in a uniformly charged solid sphere of radius
and charge
.
Use Eq. 2.45. Dont forget to integrate over all space.
Use Eq. 2.45. Dont forget to integrate over all space.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada com raio
e carga total
. Isso está relacionado à matéria de eletrostática, especificamente à energia potencial elétrica armazenada em um campo elétrico. Para resolver, vamos precisar usar a equação que relaciona a energia com o campo elétrico e integrar essa energia por todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico dentro e fora da esfera carregada. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos de forma simétrica.
Dentro da esfera (
), a densidade de carga
é uniforme e igual a
. Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico dentro é:
Fora da esfera (
), a esfera se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro, então:
Passo 3
Agora que temos o campo elétrico em todas as regiões, vamos calcular a energia armazenada no campo. A energia elétrica por unidade de volume é dada por:
Para encontrar a energia total
, integramos essa densidade de energia sobre todo o espaço:
Passo 4
Vamos dividir a integração em duas partes: dentro da esfera (
a
) e fora da esfera (
a
).
Dentro da esfera:
Simplificando:
Fora da esfera:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, somamos as duas energias para obter a energia total armazenada na esfera:
Resposta
A energia armazenada na esfera é: