Find the equations of the following conics and quadric surfaces relative to principal axes.
8 x^{2}+8 x y+2 y^{2}=35

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
8x^{2}+8xy+2y^{2}=35
e pede que a escrevamos em relação aos eixos principais (ou seja: encontrar uma mudança ortogonal de coordenadas que elimine o termo misto xy e escrever a equação na nova base).
Informações relevantes fornecidas:
\text{coeficientes: } a=8,\quad b=4\\ (\text{pois }8xy=2\cdot4xy),\quad c=2,\quad\text{constante }35.
O objetivo é encontrar coordenadas principais (u,v) (obtidas por rotação) em que a forma quadrática seja diagonal e então escrever a equação nessa nova base.

Passo 2

Por que usar rotação / diagonalização?
A expressão quadrática pode ser escrita em forma matricial como
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}8 & 4\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=35.
Uma matriz simétrica (como esta) é diagonalizável por uma matriz ortogonal: existe uma rotação que transforma a matriz em diagonal. As entradas da diagonal serão os autovalores (eixos principais), e as direções (autovetores unitários) definem a nova base (u,v). Vou então achar autovalores e autovetores dessa matriz.]

Passo 3

Calcular os autovalores da matriz
A=\begin{pmatrix}8 & 4\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}8-\lambda & 4\\[4pt]4 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(8-\lambda)(2-\lambda)-4\cdot4.
Expandindo,
(8-\lambda)(2-\lambda)-16 = 16 -10\lambda +\lambda^{2}-16=\lambda^{2}-10\lambda.
Logo as raízes são obtidas de
\lambda^{2}-10\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda-10)=0.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=10,\qquad \lambda_{2}=0.]

Passo 4

Agora os autovetores.
Para \lambda_{1}=10 resolvemos (A-10I)\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix}-2 & 4\\[4pt]4 & -8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[2pt]v_{2}\end{pmatrix}=0
da primeira linha vem -2v_{1}+4v_{2}=0\Rightarrow v_{2}=\tfrac{1}{2}v_{1}. Um autovetor conveniente é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}. O seu comprimento é \sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}, então o autovetor unitário correspondente é
\mathbf{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=0 resolvemos A\mathbf{v}=0:
\begin{pmatrix}8 & 4\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{1}\\[2pt]v_{2}\end{pmatrix}=0
da primeira linha vem 8v_{1}+4v_{2}=0\Rightarrow v_{2}=-2v_{1}. Tomando \begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix} e normalizando (norma \sqrt{1+4}=\sqrt{5}) obtemos o autovetor unitário
\mathbf{e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}.
Os vetores \mathbf{e}_{1} e \mathbf{e}_{2} são ortonormais e definem a rotação para os eixos principais.]

Passo 5

Definimos as novas coordenadas (u,v) como as coordenadas nas direções \mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2}. Ou seja,
u=\mathbf{e}_{1}\cdot\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\frac{2x+y}{\sqrt{5}}, \qquad v=\mathbf{e}_{2}\cdot\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\frac{x-2y}{\sqrt{5}}.
Em termos matriciais, \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix} com P=[\mathbf{e}_{1}\\ \mathbf{e}_{2}] ortogonal.]

Passo 6

Na base (u,v) a forma quadrática fica diagonal com autovalores na diagonal:
\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}=35 \quad\Longrightarrow\quad 10u^{2}+0\cdot v^{2}=35.
Portanto a equação em eixos principais é
10u^{2}=35,
ou simplificando
u^{2}=\frac{7}{2}.

Passo 7

Interpretação geométrica e voltar para (x,y). Como um dos autovalores é zero, a cônica degenerou: a equação u^{2}=\tfrac{7}{2} com v livre descreve duas retas paralelas em coordenadas (u,v):
u=\pm\sqrt{\tfrac{7}{2}}.
Voltando às coordenadas originais usando u=\dfrac{2x+y}{\sqrt{5}} temos
\frac{2x+y}{\sqrt{5}}=\pm\sqrt{\tfrac{7}{2}}
ou, multiplicando ambos os lados por \sqrt{5},
2x+y=\pm\sqrt{\tfrac{35}{2}}.
Também podemos escrever em forma quadrática equivalente:
(2x+y)^{2}=\frac{35}{2}.

Resposta

\displaystyle \text{Em eixos principais: }10u^{2}=35\quad(\text{com }u=\tfrac{2x+y}{\sqrt{5}},\\ v=\tfrac{x-2y}{\sqrt{5}})\n
\displaystyle \text{Equivalente em }(x,y):\\\ 2x+y=\pm\sqrt{\tfrac{35}{2}}\\ \\ (\text{duas retas paralelas})

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