Find the equations of the following conics and quadric surfaces relative to principal axes.
8 x^{2}+8 x y+2 y^{2}=35
8 x^{2}+8 x y+2 y^{2}=35
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pede que a escrevamos em relação aos eixos principais (ou seja: encontrar uma mudança ortogonal de coordenadas que elimine o termo misto
e escrever a equação na nova base).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo é encontrar coordenadas principais
(obtidas por rotação) em que a forma quadrática seja diagonal e então escrever a equação nessa nova base.
Passo 2
Por que usar rotação / diagonalização?
A expressão quadrática pode ser escrita em forma matricial como
A expressão quadrática pode ser escrita em forma matricial como
Uma matriz simétrica (como esta) é diagonalizável por uma matriz ortogonal: existe uma rotação que transforma a matriz em diagonal. As entradas da diagonal serão os autovalores (eixos principais), e as direções (autovetores unitários) definem a nova base
. Vou então achar autovalores e autovetores dessa matriz.]
Passo 3
Calcular os autovalores da matriz
O polinômio característico é
Expandindo,
Logo as raízes são obtidas de
Portanto os autovalores são
Passo 4
Agora os autovetores.
Para
resolvemos
:
da primeira linha vem
. Um autovetor conveniente é
. O seu comprimento é
, então o autovetor unitário correspondente é
Para
resolvemos
:
da primeira linha vem
. Tomando
e normalizando (norma
) obtemos o autovetor unitário
Os vetores
e
são ortonormais e definem a rotação para os eixos principais.]
Passo 5
Definimos as novas coordenadas
como as coordenadas nas direções
. Ou seja,
Em termos matriciais,
com
ortogonal.]
Passo 6
Na base
a forma quadrática fica diagonal com autovalores na diagonal:
Portanto a equação em eixos principais é
ou simplificando
Passo 7
Interpretação geométrica e voltar para
. Como um dos autovalores é zero, a cônica degenerou: a equação
com
livre descreve duas retas paralelas em coordenadas
:
Voltando às coordenadas originais usando
temos
ou, multiplicando ambos os lados por
,
Também podemos escrever em forma quadrática equivalente: