Find the equations of the following conics and quadric surfaces relative to principal axes.
5 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}+4 x z=14
Passo 1
O enunciado dá a superfície quadric
5x^{2}+3y^{2}+2z^{2}+4xz=14
e pede a equação relativa aos eixos principais (ou seja: eliminar os termos mistos e escrever a quadric em coordenadas principais).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A forma quadrática associada é Q(x,y,z)=5x^{2}+3y^{2}+2z^{2}+4xz.
Não há termos lineares nem termo constante além do 14 no lado direito.
O único termo misto presente é 4xz.
Passo 2
Transformamos a forma quadrática em representação matricial para poder diagonalizá‑la por uma transformação ortogonal. Lembre que para uma forma
Q(\mathbf{r})=\mathbf{r}^T A \mathbf{r},
os termos mistos 2a_{ij}x_i x_j aparecem por causa dos elementos fora da diagonal de A. Assim, montamos a matriz simétrica A associada a Q:
porque o termo 4xz corresponde a 2\cdot a_{13} x z, logo a_{13}=a_{31}=2. Explico: os elementos na diagonal são os coeficientes dos quadrados (5,3,2) e os elementos fora da diagonal são metade dos coeficientes dos termos mistos.]
Passo 3
Vamos achar os autovalores de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Calcule:
Verificação rápida: \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 são mutuamente ortogonais e unitários (produto escalar \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_3=0, etc.), como deve acontecer para uma matriz simétrica.]
Passo 5
Construímos a matriz ortogonal P cujas colunas são \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3. A transformação ortogonal que leva as coordenadas originais (x,y,z) para as coordenadas principais (u,v,w) é
Nessas novas variáveis, a forma quadrática fica diagonal com os coeficientes iguais aos autovalores \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}.]
Passo 6
Interpretação final: como todos os autovalores são positivos (1,3,6), a superfície é um elipsoide. Para escrever na forma canônica padrão dividimos ambos os lados por 14 ou escrevemos a forma diagonal com os autovalores multiplicando u^{2},v^{2},w^{2}. A partir disso obtemos as semi‑distâncias (semieixos) ao longo das direções principais como \sqrt{14/\lambda_i}.