Find the gradient of f.
Evaluate the gradient at the point P.
Find the rate of change of f at P in the direction of the vector
(\mathbf{u}).
f(x, y)=y^{2} / x, \quad P(1,2), \quad \mathbf{u}=\frac{1}{3}(2 \mathbf{i}+\sqrt{5} \mathbf{j})

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=\frac{y^2}{x}, depois avalia-lo no ponto P(1,2) e, por fim, calcular a taxa de variação naquele ponto na direção da unidade
\mathbf{u} = \frac{1}{3}(2\mathbf{i} + \sqrt{5}\,\mathbf{j}).
Vamos usar derivadas parciais para obter \nabla f e produto escalar para a derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^2 x^{-1}\bigr) = -y^2 x^{-2},
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^2 x^{-1}\bigr) = 2y\,x^{-1}.
Logo, o gradiente é
\nabla f(x,y) = \biggl\langle -\frac{y^2}{x^2},\;\frac{2y}{x}\biggr\rangle.

Passo 3

Em P(1,2) temos
\nabla f(1,2) = \biggl\langle -\frac{2^2}{1^2},\;\frac{2\cdot2}{1} \biggr\rangle = \langle -4,\;4\rangle.

Passo 4

A derivada direcional de f em P ao longo de \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(1,2) = \nabla f(1,2)\cdot \mathbf{u} = \langle -4,4\rangle\cdot\biggl\langle \tfrac{2}{3},\,\tfrac{\sqrt{5}}{3}\biggr\rangle = -4\cdot\tfrac{2}{3} \;+\;4\cdot\tfrac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4(\sqrt{5}-2)}{3}.

Resposta

\displaystyle \nabla f(x,y)=\bigl\langle -\tfrac{y^2}{x^2},\,\tfrac{2y}{x}\bigr\rangle
\displaystyle \nabla f(1,2)=\langle -4,4\rangle
\displaystyle D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\frac{4(\sqrt{5}-2)}{3}

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