Find the gradient of f.
Evaluate the gradient at the point P.
Find the rate of change of f at P in the direction of the vector
(\mathbf{u}).
f(x, y, z)=x e^{2 y z}, \quad P(3,0,2), \quad \mathbf{u}=\left\langle\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=x\,e^{2yz}
e pede: (a) o gradiente \nabla f; (b) \nabla f em P(3,0,2); (c) a taxa de variação de f em P na direção de \mathbf{u}=\bigl\langle\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr\rangle. Vamos usar derivadas parciais para o gradiente e depois o produto escalar para a derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{2yz}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =x\;e^{2yz}\cdot(2z) =2xz\,e^{2yz}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =x\;e^{2yz}\cdot(2y) =2xy\,e^{2yz}.
Portanto,
\nabla f(x,y,z) =\bigl\langle e^{2yz},\; 2xz\,e^{2yz},\; 2xy\,e^{2yz} \bigr\rangle.

Passo 3

Em P(3,0,2) temos y=0 e e^{2\cdot0\cdot2}=1. Logo,
\nabla f(3,0,2) =\bigl\langle 1,\; 2\cdot3\cdot2\cdot1,\; 2\cdot3\cdot0\cdot1 \bigr\rangle =\bigl\langle1,12,0\bigr\rangle.

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção unitária \mathbf{u} é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(3,0,2) =\nabla f(3,0,2)\cdot \mathbf{u} =\bigl\langle1,12,0\bigr\rangle\!\cdot\!\bigl\langle\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr\rangle =\tfrac{2}{3}-\tfrac{24}{3} =-\tfrac{22}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla f(x,y,z)=\bigl\langle e^{2yz},\,2xz\,e^{2yz},\,2xy\,e^{2yz}\bigr\rangle.
(b) \displaystyle \nabla f(3,0,2)=\langle1,12,0\rangle.
(c) \displaystyle D_{\mathbf{u}}f(3,0,2)=-\tfrac{22}{3}.

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