Find the gradient of f.
Evaluate the gradient at the point P.
Find the rate of change of f at P in the direction of the vector
(\mathbf{u}).
f(x, y, z)=\sqrt{x+y z}, \quad P(1,3,1), \quad \mathbf{u}=\left\langle\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\sqrt{x+yz}
o ponto P(1,3,1) e o vetor unitário de direção
\mathbf{u}=\bigl\langle\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\bigr\rangle.
Precisamos de (1) \nabla f, (2) \nabla f(P) e (3) a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{u}.

Passo 2

Para achar \nabla f calculamos as derivadas parciais de
f(x,y,z)=(x+yz)^{1/2}.
Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{x+yz}}\,,\quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{z}{2\sqrt{x+yz}}\,,\quad \frac{\partial f}{\partial z} =\frac{y}{2\sqrt{x+yz}}\,.
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\nabla f(x,y,z) =\Bigl\langle \frac{1}{2\sqrt{x+yz}},\, \frac{z}{2\sqrt{x+yz}},\, \frac{y}{2\sqrt{x+yz}} \Bigr\rangle.

Passo 3

Em P(1,3,1) temos x+yz=1+3\cdot1=4 e \sqrt{4}=2.
Substituindo na expressão de \nabla f:
\nabla f(P) =\Bigl\langle \frac{1}{2\cdot2},\, \frac{1}{2\cdot2},\, \frac{3}{2\cdot2} \Bigr\rangle =\Bigl\langle\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\Bigr\rangle.

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção \mathbf{u} é o produto escalar
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P) =\Bigl\langle\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\Bigr\rangle \cdot \Bigl\langle\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\Bigr\rangle =\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{7} +\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{7} +\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7} =\frac{23}{28}.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\bigl\langle\tfrac{1}{2\sqrt{x+yz}},\tfrac{z}{2\sqrt{x+yz}},\tfrac{y}{2\sqrt{x+yz}}\bigr\rangle
\nabla f(P)=\bigl\langle\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\bigr\rangle
Derivada direcional em P na direção \mathbf{u}: \tfrac{23}{28}.

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