Find the limit.
$\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{4}+x^{5}\right)$

O enunciado pede calcular

\lim_{x\to -\infty}\bigl(x^4 + x^5\bigr).

Aqui o conteúdo é o comportamento de polinômios quando

x

tende a

\pm\infty

: o termo de maior grau domina a expressão.

Num polinômio como

x^4 + x^5

, o termo de maior grau é

x^5

. Isso significa que, para

\lvert x\rvert

muito grande,

x^5

cresce (em módulo) muito mais rápido que

x^4

, e portanto determina o sinal e a ordem de grandeza do polinômio.

Para ver isso de forma clara, fatoramos

x^5

x^4 + x^5 = x^5\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr).

Quando

x\to -\infty

, temos

\tfrac{1}{x}\to 0

, logo

1 + \tfrac{1}{x}\to 1

. Assim

x^4 + x^5 \sim x^5 \quad(\text{quando }x\to -\infty).

Como

x^5

é de grau ímpar, ao fazermos

x\to -\infty

o valor de

x^5

também tende a

-\infty

. Como o fator

\bigl(1+\tfrac1x\bigr)

vai para

1

sem alterar o sinal, o polinômio todo tende a

-\infty

-\infty

Find the limit. \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{4}+x^{5}\right)