Find the limits in Exercises 1-12.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \ln \left|1+x^{2} y^{2}\right|

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \ln\bigl|1 + x^{2}y^{2}\bigr|
Isso envolve funções elementares (potência, produto, soma, valor absoluto e logaritmo), todas contínuas em seu domínio.

Passo 2

Para (x,y) próximos de (1,1), temos
1 + x^{2}y^{2} > 1,
logo \bigl|1 + x^{2}y^{2}\bigr| = 1 + x^{2}y^{2} e o logaritmo está bem definido e contínuo nessa vizinhança.

Passo 3

Pela continuidade da composição, basta substituir (x,y)=(1,1):
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \ln\bigl|1 + x^{2}y^{2}\bigr| = \ln\bigl(1 + 1^{2}\cdot1^{2}\bigr) = \ln(2).

Resposta

\ln 2

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