Find the limits.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \cos \frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos\frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}.
O conteúdo envolvido é limite em duas variáveis e continuidade de funções compostas. Vamos primeiro achar o limite da parte interna \frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1} e depois usar a continuidade de \cos.

Passo 2

Calcular o limite da fração:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}.
Observamos que \lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{2}=0, \lim_{(x,y)\to(0,0)}y^{3}=0 e \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y+1)=1\neq 0.
Pela propriedade do quociente de limites,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1} = \frac{0+0}{1} = 0.

Passo 3

Como \cos z é contínua em todo z, em particular em z=0, podemos passar o limite para dentro:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos\frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1} = \cos\Bigl(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}+y^{3}}{x+y+1}\Bigr) = \cos(0) = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados