Find the limits.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \cos \sqrt[3]{|x y|-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,1)} \cos\sqrt[3]{\,|x y|-1\,}.
Este problema usa limites de funções de duas variáveis e explora que valor absoluto, raiz cúbica e cosseno são funções contínuas.

Passo 2

Definimos a função intermediária
u(x,y)=|x y|-1.
Multiplicação e valor absoluto são contínuos em \mathbb{R}^2, então
\lim_{(x,y)\to(1,1)}u(x,y) =\lim_{(x,y)\to(1,1)}\bigl(|x y|-1\bigr) =|1\cdot1|-1 =0.

Passo 3

Agora consideramos
v(u)=\sqrt[3]{u},
que é contínua em \mathbb{R}. Assim
\lim_{(x,y)\to(1,1)}v\bigl(u(x,y)\bigr) =v\Bigl(\lim_{(x,y)\to(1,1)}u(x,y)\Bigr) =\sqrt[3]{0} =0.

Passo 4

Finalmente, a função
w(t)=\cos t
é contínua em \mathbb{R}. Portanto
\lim_{(x,y)\to(1,1)}w\bigl(v(u(x,y))\bigr) =w\Bigl(\lim_{(x,y)\to(1,1)}v(u(x,y))\Bigr) =\cos0 =1.

Resposta

1

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