Find the limits.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x \sin y}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite da função
f(x,y) = \frac{x\sin y}{x^{2}+1}
quando (x,y)\to(1,0). Isso é um limite de função de duas variáveis. Observamos que as componentes x, \sin y e x^{2}+1 são contínuas em torno de (1,0) e que x^{2}+1\neq0 nesse ponto. Portanto podemos avaliar o limite simplesmente substituindo.

Passo 2

Como \sin y é contínua e \sin0=0, e x\mapsto x e x\mapsto x^{2}+1 também são contínuas em x=1 com 1^{2}+1=2\neq0, temos
\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{x\sin y}{x^{2}+1} =\frac{\bigl(\lim_{x\to1}x\bigr)\,\bigl(\lim_{y\to0}\sin y\bigr)}{\lim_{x\to1}(x^{2}+1)} =\frac{1\cdot0}{2} =0.

Resposta

0

Exercícios relacionados