Find the limits.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{y} \sin x}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{e^{y}\,\sin x}{x}
quando (x,y)\to(0,0). Isso envolve o conceito de limite em \mathbb{R}^2 e a regra do produto de limites, além do limite clássico \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.

Passo 2

Observe que podemos escrever
f(x,y)=e^{y}\;\cdot\;\frac{\sin x}{x}.
Para o limite em (0,0), vamos estudar cada fator separadamente.

Passo 3

Primeiro, sabemos do cálculo de uma variável que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Esse resultado vale independentemente de y, desde que x se aproxime de zero.

Passo 4

Em seguida, usamos a continuidade da função exponencial:
\lim_{y\to0}e^{y}=e^{0}=1.

Passo 5

Como o limite do produto de funções é o produto dos limites (sempre que existam e sejam finitos), temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{y\to0}e^{y}\;\times\;\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} =1\cdot1=1.

Resposta

1

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