Find the linearization
of the function at each point.
at
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a linearização
da função
, no ponto
.
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto de linearização:
. - Objetivo: achar a aproximação linear (plano tangente)
válida perto de .
Passo 2
Fórmula geral da linearização (plano tangente) de uma função de duas variáveis no ponto
:
Explicando cada termo:
-
é o valor da função no ponto de expansão. -
é a derivada parcial de em relação a , avaliada em . Ela mede a inclinação do gráfico de na direção do eixo . -
é a derivada parcial de em relação a , avaliada em . Mede a inclinação na direção do eixo . - Os termos
e são os deslocamentos em relação ao ponto de expansão.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
: tratar
como constante e derivar em
.
Derivada parcial em relação a
: tratar
como constante e derivar em
.
Passo 4
Avaliar
,
e
no ponto
.
Valor da função:
Derivadas parciais no ponto:
Passo 5
Montar a linearização usando a fórmula do Passo 2 e os valores do Passo 4:
Substituindo:
Passo 6
Simplificar a expressão para uma forma mais direta:
Breve interpretação e dica para prova:
é o plano tangente a
em
. Para aproximar
perto de
basta calcular
em vez de
; por exemplo, para
usar
dá uma aproximação rápida sem elevar ao quadrado.