Find the linearization L(x, y) of the function at each point.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+1 at
(1,1)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a linearização L(x,y) da função \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1, no ponto (1,1).
Informações dadas:
  • Função: \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
  • Ponto de linearização: (a,b)=(1,1).
  • Objetivo: achar a aproximação linear (plano tangente) L(x,y) válida perto de (1,1).

Passo 2

Fórmula geral da linearização (plano tangente) de uma função de duas variáveis no ponto (a,b):
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\bigl(x-a\bigr)+f_y(a,b)\bigl(y-b\bigr).
Explicando cada termo:
  • \,f(a,b) é o valor da função no ponto de expansão.
  • \,f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada em (a,b). Ela mede a inclinação do gráfico de f na direção do eixo x.
  • \,f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y, avaliada em (a,b). Mede a inclinação na direção do eixo y.
  • Os termos \,(x-a) e (y-b) são os deslocamentos em relação ao ponto de expansão.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar em x.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)=2x.
Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante e derivar em y.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)=2y.

Passo 4

Avaliar f, f_x e f_y no ponto (a,b)=(1,1).
Valor da função:
f(1,1)=1^{2}+1^{2}+1=1+1+1=3.
Derivadas parciais no ponto:
f_x(1,1)=2\cdot 1=2, \qquad f_y(1,1)=2\cdot 1=2.

Passo 5

Montar a linearização usando a fórmula do Passo 2 e os valores do Passo 4:
L(x,y)=f(1,1)+f_x(1,1)\bigl(x-1\bigr)+f_y(1,1)\bigl(y-1\bigr).
Substituindo:
L(x,y)=3+2\bigl(x-1\bigr)+2\bigl(y-1\bigr).

Passo 6

Simplificar a expressão para uma forma mais direta:
L(x,y)=3+2x-2+2y-2=2x+2y-1.
Breve interpretação e dica para prova: \,L(x,y) é o plano tangente a f em (1,1,3). Para aproximar f perto de (1,1) basta calcular L em vez de f; por exemplo, para (x,y)=(1{,}01,0{,}98) usar L(1{,}01,0{,}98) dá uma aproximação rápida sem elevar ao quadrado.

Resposta

L(x,y)=3+2(x-1)+2(y-1)
L(x,y)=2x+2y-1

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