Find equations for the
(a) tangent plane and
(b) normal line at the point
on the given surface.
(a) tangent plane and
(b) normal line at the point
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e o ponto
que pertence a essa superfície. Pede:
(a) a equação do plano tangente à superfície em ;
(b) a equação da reta normal à superfície em .
(a) a equação do plano tangente à superfície em
(b) a equação da reta normal à superfície em
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é o conjunto dos pontos
que satisfazem . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Transformar a equação da superfície numa função de nível, o que facilita a técnica padrão. Defina
A superfície é o nível
. Para superfícies dadas por
constante existe uma fórmula geral para o plano tangente: o vetor gradiente
no ponto é perpendicular (normal) ao plano tangente. Vou explicar o que é o gradiente.
Passo 3
O gradiente
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
:
Intuição curta e útil:
aponta na direção de maior variação de
; para uma superfície de nível, a direção de maior variação é perpendicular à superfície, então
é um vetor normal.
Passo 4
Calcule as derivadas parciais de
:
Portanto
Avalie em
:
Esse é um vetor normal ao plano tangente no ponto
.
Passo 5
A equação do plano tangente a
no ponto
pode ser escrita por
Substituindo
e
obtemos
Desenvolvendo o produto escalar:
Dividindo por
e simplificando:
Essa é a equação do plano tangente.
Passo 6
Para a reta normal: por definição, a reta normal à superfície em
passa por
e tem como direção um vetor normal à superfície naquele ponto. Já temos um vetor normal
, logo a reta normal pode ser dada em forma paramétrica por
Uma forma alternativa, equivalente, é a forma simétrica
Passo 7
Comentário rápido de verificação e dica para a prova: como a superfície é uma esfera centrada em
, o vetor do centro até
, que é
, é radial e portanto normal à esfera em
; isso explica por que a direção
(paralela a
) é a normal. Em provas, ao tratar esferas essa observação acelera bastante a solução.
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):
Reta normal (paramétrica):