Find equations for the
(a) tangent plane and
(b) normal line at the point P_{0} on the given surface.
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3, \, P_{0}(1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 e o ponto P_{0}(1,1,1) que pertence a essa superfície. Pede:
(a) a equação do plano tangente à superfície em P_{0};
(b) a equação da reta normal à superfície em P_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é o conjunto dos pontos (x,y,z) que satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.
  • O ponto de interesse é P_{0}=(1,1,1).

Passo 2

Transformar a equação da superfície numa função de nível, o que facilita a técnica padrão. Defina
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-3.
A superfície é o nível F(x,y,z)=0. Para superfícies dadas por F(x,y,z)= constante existe uma fórmula geral para o plano tangente: o vetor gradiente \nabla F no ponto é perpendicular (normal) ao plano tangente. Vou explicar o que é o gradiente.

Passo 3

O gradiente \nabla F é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de F:
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Intuição curta e útil: \nabla F aponta na direção de maior variação de F; para uma superfície de nível, a direção de maior variação é perpendicular à superfície, então \nabla F é um vetor normal.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.
Portanto
\displaystyle \nabla F(x,y,z)=(2x,2y,2z).
Avalie em P_{0}(1,1,1):
\displaystyle \nabla F(1,1,1)=(2\cdot1,2\cdot1,2\cdot1)=(2,2,2).
Esse é um vetor normal ao plano tangente no ponto P_{0}.

Passo 5

A equação do plano tangente a F(x,y,z)=0 no ponto P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) pode ser escrita por
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
Substituindo \nabla F(1,1,1)=(2,2,2) e P_{0}=(1,1,1) obtemos
(2,2,2)\cdot\bigl(x-1,\,y-1,\,z-1\bigr)=0.
Desenvolvendo o produto escalar:
2(x-1)+2(y-1)+2(z-1)=0.
Dividindo por 2 e simplificando:
x+y+z=3.
Essa é a equação do plano tangente.

Passo 6

Para a reta normal: por definição, a reta normal à superfície em P_{0} passa por P_{0} e tem como direção um vetor normal à superfície naquele ponto. Já temos um vetor normal (2,2,2), logo a reta normal pode ser dada em forma paramétrica por
x=1+2t,\qquad y=1+2t,\qquad z=1+2t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Uma forma alternativa, equivalente, é a forma simétrica
\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}.

Passo 7

Comentário rápido de verificação e dica para a prova: como a superfície é uma esfera centrada em (0,0,0), o vetor do centro até P_{0}, que é (1,1,1), é radial e portanto normal à esfera em P_{0}; isso explica por que a direção (2,2,2) (paralela a (1,1,1)) é a normal. Em provas, ao tratar esferas essa observação acelera bastante a solução.

Resposta

Plano tangente: x+y+z=3
Reta normal (paramétrica): x=1+2t,\;y=1+2t,\;z=1+2t,\;t\in\mathbb{R}

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