Find the linearization L(x, y) of the function at each point.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+1 at
(0,0)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a linearização L(x,y) da função no ponto dado. Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
  • O ponto onde se quer a linearização é (0,0).
  • A pergunta é: qual é L(x,y) (a aproximação linear / plano tangente) para essa função no ponto (0,0).

Passo 2

O que é a linearização? Vou explicar devagar e de forma prática.
  • A linearização de uma função de duas variáveis f(x,y) em torno de um ponto (a,b) é a melhor aproximação linear (plano) a f perto desse ponto. É equivalente ao plano tangente à superfície z=f(x,y) em (a,b,f(a,b)).
  • A fórmula padrão da linearização é
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
onde:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x (ou seja, a inclinação na direção x);
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y (a inclinação na direção y);
  • a e b são as coordenadas do ponto onde linearizamos;
  • x e y são as variáveis em que queremos avaliar a aproximação.
  • Intuição simples: perto de (a,b), a variação de f pode ser aproximada por uma soma linear das pequenas variações \Delta x e \Delta y multiplicadas pelas inclinações locais f_x(a,b) e f_y(a,b).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar x^{2} por x obtemos 2x; y^{2} e 1 são constantes em relação a x. Logo
f_x(x,y)=2x.
  • Derivada parcial em relação a y: ao derivar y^{2} por y obtemos 2y; x^{2} e 1 são constantes em relação a y. Logo
f_y(x,y)=2y.

Passo 4

Avaliar as derivadas e a função no ponto (a,b)=(0,0).
  • Primeiro, o valor da função:
f(0,0)=0^{2}+0^{2}+1=1.
  • Agora as derivadas no ponto:
f_x(0,0)=2\cdot 0=0, \qquad f_y(0,0)=2\cdot 0=0.

Passo 5

Aplicar a fórmula da linearização com a=0 e b=0:
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,(x-0)+f_y(0,0)\,(y-0).
Substituindo os valores calculados:
L(x,y)=1 + 0\cdot x + 0\cdot y = 1.
Interpretação: o plano tangente à superfície z=x^{2}+y^{2}+1 em (0,0,1) é o plano horizontal z=1. Isto faz sentido porque a função tem um mínimo em (0,0) e as inclinações nas direções x e y são zero ali.

Passo 6

Pequeno exemplo de uso (para fixar): aproximar f(0{,}1,-0{,}05) usando a linearização.
  • Pelo linearizador L(x,y)=1, a aproximação é L(0{,}1,-0{,}05)=1.
  • O valor exato é f(0{,}1,-0{,}05)=0{,}1^{2}+(-0{,}05)^{2}+1=0{,}01+0{,}0025+1=1{,}0125.
  • A aproximação linear deu 1, com erro 0{,}0125. Isso mostra que a linearização é uma boa aproximação muito perto de (0,0); quanto mais perto, menor o erro.

Resposta

L(x,y)=1

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