Find the linearization
of the function at each point.
at
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a linearização
da função no ponto dado. Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde se quer a linearização é
. - A pergunta é: qual é
(a aproximação linear / plano tangente) para essa função no ponto .
Passo 2
O que é a linearização? Vou explicar devagar e de forma prática.
- A linearização de uma função de duas variáveis
em torno de um ponto é a melhor aproximação linear (plano) a perto desse ponto. É equivalente ao plano tangente à superfície em . - A fórmula padrão da linearização é
onde:
-
é a derivada parcial de em relação a (ou seja, a inclinação na direção ); -
é a derivada parcial de em relação a (a inclinação na direção ); -
e são as coordenadas do ponto onde linearizamos; -
e são as variáveis em que queremos avaliar a aproximação. - Intuição simples: perto de
, a variação de pode ser aproximada por uma soma linear das pequenas variações e multiplicadas pelas inclinações locais e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar por obtemos ; e são constantes em relação a . Logo
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar por obtemos ; e são constantes em relação a . Logo
Passo 4
Avaliar as derivadas e a função no ponto
.
- Primeiro, o valor da função:
- Agora as derivadas no ponto:
Passo 5
Aplicar a fórmula da linearização com
e
:
Substituindo os valores calculados:
Interpretação: o plano tangente à superfície
em
é o plano horizontal
. Isto faz sentido porque a função tem um mínimo em
e as inclinações nas direções
e
são zero ali.
Passo 6
Pequeno exemplo de uso (para fixar): aproximar
usando a linearização.
- Pelo linearizador
, a aproximação é . - O valor exato é
. - A aproximação linear deu
, com erro . Isso mostra que a linearização é uma boa aproximação muito perto de ; quanto mais perto, menor o erro.