Find the minimum value of the area of the region under the curve
, from
to
, for all
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor mínimo da área da região que está abaixo da curva $ y = x + \frac{1}{x} $, no intervalo de $ x = a $ até $ x = a + \frac{3}{2} $, onde $ a > 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral para calcular a área e cálculo diferencial para encontrar o mínimo dessa área.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a área que queremos encontrar. A área sob uma curva entre dois pontos é calculada pela integral definida da função que descreve a curva nesse intervalo. Então, a área $ A(a) $ é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. Integramos cada termo separadamente:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área definida.
Passo 4
Aplicando os limites de integração, temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ a $ que minimiza a área $ A(a) $, vamos calcular a derivada de $ A(a) $ em relação a $ a $ e igualar a zero. Isso porque, no mínimo, a derivada será zero.
Primeiro, derivamos cada termo de $ A(a) $:
Calculando cada derivada:
Passo 6
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor crítico:
Vamos resolver essa equação para $ a $:
Multiplicando todos os termos por $ a(a + \frac{3}{2}) $ para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar as frações:
Dividindo toda a equação por 3:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ 2a^2 + 3a - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 2 $, $ b = 3 $ e $ c = -2 $:
Obtemos duas soluções:
Como $ a > 0 $, descartamos a solução negativa. Portanto, $ a = \frac{1}{2} $.
Resposta
O valor mínimo da área ocorre quando $ a = \frac{1}{2} $.