Find the minimum value of the area of the region under the curve y=x+1x, from x=a to x=a+32, for all a>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor mínimo da área da região que está abaixo da curva $ y = x + \frac{1}{x} $, no intervalo de $ x = a $ até $ x = a + \frac{3}{2} $, onde $ a > 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral para calcular a área e cálculo diferencial para encontrar o mínimo dessa área.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a área que queremos encontrar. A área sob uma curva entre dois pontos é calculada pela integral definida da função que descreve a curva nesse intervalo. Então, a área $ A(a) $ é dada por:
A(a)

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Integramos cada termo separadamente:
integral ( x + 1x ) dx = integral x , dx + integral 1x , dx = 12x^2 + ln|x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área definida.

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos:
A(a) = [ 12x^2 + ln|x| ]a^a + 32 = ( 12(a + 32)^2 + ln(a + 32) ) - ( 12a^2 + ln a )
Vamos simplificar essa expressão:
A(a) = 12(a^2 + 3a + 94) + ln(a + 32) - 12a^2 - ln a
A(a) = 3a2 + 98 + ln(a + 32a)

Passo 5

Para encontrar o valor de $ a $ que minimiza a área $ A(a) $, vamos calcular a derivada de $ A(a) $ em relação a $ a $ e igualar a zero. Isso porque, no mínimo, a derivada será zero.
Primeiro, derivamos cada termo de $ A(a) $:
a
Calculando cada derivada:
A(a)
A(a)

Passo 6

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor crítico:
32 + ( 1a + 32 - 1a ) = 0
Vamos resolver essa equação para $ a $:
a
Multiplicando todos os termos por $ a(a + \frac{3}{2}) $ para eliminar os denominadores:
32 + 1a + 32 - 1a = 0
Simplificando:
a(a + 32)
32 cdot a(a + 32) + a - (a + 32) = 0
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar as frações:
32a^2 + 94a + a - a - 32 = 0
Dividindo toda a equação por 3:
32a^2 + 94a - 32 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ 2a^2 + 3a - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
2a^2 + 3a - 2 = 0
Onde $ a = 2 $, $ b = 3 $ e $ c = -2 $:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Obtemos duas soluções:
a = 2
b = 3
Como $ a > 0 $, descartamos a solução negativa. Portanto, $ a = \frac{1}{2} $.

Resposta

O valor mínimo da área ocorre quando $ a = \frac{1}{2} $.

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