Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente quer mostrar que a soma
é igual a 1. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e propriedades de funções exponenciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a fração dentro da soma em duas partes para facilitar a conta. Ou seja:
Assim, nossa soma original fica dividida em duas somas:
Passo 3
Vamos resolver a primeira soma:
. Podemos simplificar
por
vezes 2:
Como
, temos:
Agora, vamos mudar o índice de soma para facilitar. Seja
, então quando
,
. Substituindo:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda soma:
. Essa soma é semelhante à série da função exponencial. Sabemos que:
Substituindo
:
Mas nossa soma começa de
, então:
Portanto:
Passo 5
Voltando às duas somas que tínhamos separadas:
Resposta
1