Mostre que sum(-1)^n+1 2 n+1n!cdot 2^n=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente quer mostrar que a soma sumn=1^infty (-1)^n+1 2n+1n! cdot 2^n é igual a 1. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e propriedades de funções exponenciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração dentro da soma em duas partes para facilitar a conta. Ou seja:
2n + 1n! cdot 2^n = 2nn! cdot 2^n + 1n! cdot 2^n
Assim, nossa soma original fica dividida em duas somas:
sumn=1^infty (-1)^n+1 ( 2nn! cdot 2^n + 1n! cdot 2^n ) = sumn=1^infty (-1)^n+1 2nn! cdot 2^n + sumn=1^infty (-1)^n+1 1n! cdot 2^n

Passo 3

Vamos resolver a primeira soma: sumn=1^infty (-1)^n+1 2nn! cdot 2^n. Podemos simplificar 2n por n vezes 2:
2 sumn=1^infty (-1)^n+1 nn! cdot 2^n
Como n / n! = 1/(n-1)!, temos:
2 sumn=1^infty (-1)^n+1 1(n-1)! cdot 2^n
Agora, vamos mudar o índice de soma para facilitar. Seja k = n - 1, então quando n=1, k=0. Substituindo:
Simplificando os sinais:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda soma: sumn=1^infty (-1)^n+1 1n! cdot 2^n. Essa soma é semelhante à série da função exponencial. Sabemos que:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Substituindo x = -12:
e^-1/2 = sumn=0^infty (-1/2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^nn! cdot 2^n
Mas nossa soma começa de n=1, então:
Portanto:
sumn=1^infty (-1)^nn! cdot 2^n = e^-1/2 - (-1)^00! cdot 2^0 = e^-1/2 - 1

Passo 5

Voltando às duas somas que tínhamos separadas:
sumn=1^infty (-1)^n+1 2nn! cdot 2^n + sumn=1^infty (-1)^n+1 1n! cdot 2^n = e^-1/2 + (1 - e^-1/2) = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados