Resolva, se possível, a inequação x^3(x+3)(x-2)>2 x-x^2(x+3)(x-2).

Passo 1

O exercício pede para resolver a inequação racional x^3(x+3)(x-2)>2x - x^2(x+3)(x-2). O conteúdo é inequação envolvendo frações algébricas; vamos precisar conhecer manipulação de frações, fatoração e análise de sinais.

Passo 2

Passamos tudo para o mesmo lado, subtraindo o segundo membro:
x^3(x+3)(x-2) - 2x - x^2(x+3)(x-2) > 0

Passo 3

Como os denominadores são iguais, unimos em uma única fração:
x^3 - (2x - x^2)(x+3)(x-2) > 0

Passo 4

Simplificamos o numerador:
x^3 - 2x + x^2 = x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2)

Passo 5

E fatoramos o termo quadrático:
x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)

Passo 6

Logo a inequação vira
x(x+2)(x-1)(x+3)(x-2) > 0

Passo 7

Determinamos os pontos críticos (zeros do numerador e do denominador):
Numerador zero em x=0,,-2,,1.
Denominador zero em x=-3,,2 (esses valores não pertencem ao domínio).

Passo 8

Fazemos a análise de sinais em cada intervalo definido pelos pontos críticos:
Intervalos e sinais de cada fator
Intervalo | x | x+2 | x-1 | x+3 | x-2 | Fracção
(-∞,−3) : pick x=−4 → (−)(−)(−)/(−)(−) = − → não satisfaz
(-3,−2) : pick x=−2.5 → (−)(−)(−)/(+)(−) = + → satisfaz
(-2,0) : pick x=−1 → (−)(+)(−)/(+)(−) = − → não satisfaz
(0,1) : pick x=0.5 → (+)(+)(−)/(+)(−) = + → satisfaz
(1,2) : pick x=1.5 → (+)(+)(+)/(+)(−) = − → não satisfaz
(2,∞) : pick x=3 → (+)(+)(+)/(+)(+) = + → satisfaz

Passo 9

Como a desigualdade é estrita, não incluímos pontos em que o numerador ou denominador se anulam.
Os intervalos onde a fração é positiva são:
$ (-3,-2) \cup (0,1) \cup (2,\infty) $.

Resposta

(-3,-2) cup (0,1) cup (2,infty)

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