Resolva, se possível, a inequação
.
Passo 1
O exercício pede para resolver a inequação racional
. O conteúdo é inequação envolvendo frações algébricas; vamos precisar conhecer manipulação de frações, fatoração e análise de sinais.
Passo 2
Passamos tudo para o mesmo lado, subtraindo o segundo membro:
Passo 3
Como os denominadores são iguais, unimos em uma única fração:
Passo 4
Simplificamos o numerador:
Passo 5
E fatoramos o termo quadrático:
Passo 6
Logo a inequação vira
Passo 7
Determinamos os pontos críticos (zeros do numerador e do denominador):
Numerador zero em .
Denominador zero em (esses valores não pertencem ao domínio).
Numerador zero em
Denominador zero em
Passo 8
Fazemos a análise de sinais em cada intervalo definido pelos pontos críticos:
Intervalos e sinais de cada fator
Intervalos e sinais de cada fator
Intervalo | x | x+2 | x-1 | x+3 | x-2 | Fracção
(-∞,−3) : pick x=−4 → (−)(−)(−)/(−)(−) = − → não satisfaz
(-3,−2) : pick x=−2.5 → (−)(−)(−)/(+)(−) = + → satisfaz
(-2,0) : pick x=−1 → (−)(+)(−)/(+)(−) = − → não satisfaz
(0,1) : pick x=0.5 → (+)(+)(−)/(+)(−) = + → satisfaz
(1,2) : pick x=1.5 → (+)(+)(+)/(+)(−) = − → não satisfaz
(2,∞) : pick x=3 → (+)(+)(+)/(+)(+) = + → satisfaz
(-3,−2) : pick x=−2.5 → (−)(−)(−)/(+)(−) = + → satisfaz
(-2,0) : pick x=−1 → (−)(+)(−)/(+)(−) = − → não satisfaz
(0,1) : pick x=0.5 → (+)(+)(−)/(+)(−) = + → satisfaz
(1,2) : pick x=1.5 → (+)(+)(+)/(+)(−) = − → não satisfaz
(2,∞) : pick x=3 → (+)(+)(+)/(+)(+) = + → satisfaz
Passo 9
Como a desigualdade é estrita, não incluímos pontos em que o numerador ou denominador se anulam.
Os intervalos onde a fração é positiva são:
$ (-3,-2) \cup (0,1) \cup (2,\infty) $.
Os intervalos onde a fração é positiva são:
$ (-3,-2) \cup (0,1) \cup (2,\infty) $.