Find the points on the given curve where the tangent line is horizontal or vertical.
r=e^theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares ,r=e^theta e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Vamos usar a fórmula do declive em cartesianas
dydx = drdthetasintheta + rcostheta drdthetacostheta - rsintheta
para achar onde dydx=0 (horizontal) ou onde o denominador se anula (vertical).

Passo 2

Calculemos drdtheta e depois numerador e denominador:
r = e^theta, drdtheta=e^theta=r
Então
numerador N = rsintheta + rcostheta = rl(sintheta+costhetar),
denominador D = rcostheta - rsintheta = rl(costheta-sinthetar)
Logo
dydx = sintheta+costhetacostheta-sintheta

Passo 3

Para tangente horizontal impomos N=0 e Dneq0:
sintheta+costheta=0 ;Longrightarrow; tantheta=-1 ;Longrightarrow; theta=3pi4+kpi
Tomando 0<=theta<2pi, temos theta=tfrac3pi4 e theta=tfrac7pi4.
Os pontos são
l(rcostheta,;rsinthetar) =l(e^thetacostheta,;e^thetasinthetar),
logo:
theta=3pi4: ;l(-tfrace^3pi/4raiz2,,tfrace^3pi/4raiz2r),
theta=7pi4: ;l(tfrace^7pi/4raiz2,,-tfrace^7pi/4raiz2r)

Passo 4

Para tangente vertical impomos D=0 e Nneq0:
costheta-sintheta=0 ;Longrightarrow; tantheta=1 ;Longrightarrow; theta=pi4+kpi
No intervalo 0<=theta<2pi ficam theta=tfracpi4 e theta=tfrac5pi4.
Os pontos correspondentes são:
theta=pi4: ;l(tfrace^pi/4raiz2,,tfrace^pi/4raiz2r),
theta=5pi4: ;l(-tfrace^5pi/4raiz2,,-tfrace^5pi/4raiz2r)

Resposta

Horizontais em
l(-tfrace^3pi/4raiz2,,tfrace^3pi/4raiz2r) e
l(tfrace^7pi/4raiz2,,-tfrace^7pi/4raiz2r).
Verticais em
l(tfrace^pi/4raiz2,,tfrace^pi/4raiz2r) e
l(-tfrace^5pi/4raiz2,,-tfrace^5pi/4raiz2r).

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