Find the points on the given curve where the tangent line is horizontal or vertical.
Passo 1
Temos a curva no sistema polar
Queremos os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Vamos usar a fórmula da derivada em coordenadas polares:
Passo 2
Calculamos primeiro
. Como
, temos
Substituindo em
, o numerador fica
e o denominador fica
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Passo 3
Para tangente horizontal, exigimos
, ou seja
:
No intervalo
as soluções são
Calculando e convertendo em coordenadas cartesianas
, obtemos apenas dois pontos distintos:
Calculando
- Para
e a posição é . - Para
e a posição é .
Passo 4
Para tangente vertical, exigimos
:
Calculamos
:
-
dá , ponto . -
dá , que em coordenadas cartesianas também é . -
e dão , ou seja o ponto .
Resposta
Horizontal:
e
.
Vertical: e
.
Vertical: