Find the points on the given curve where the tangent line is horizontal or vertical.
r=3 cos theta

Passo 1

Temos a curva no sistema polar
r = 3 costheta
Queremos os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Vamos usar a fórmula da derivada em coordenadas polares:
dydx = drdthetasintheta + rcostheta drdthetacostheta - rsintheta

Passo 2

Calculamos primeiro drdtheta. Como r=3costheta, temos
drdtheta = -3sintheta
Substituindo em dy/dx, o numerador fica
N = (-3sintheta)sintheta + (3costheta)costheta = 3(cos^2theta - sin^2theta) = 3cos2theta,
e o denominador fica
D = (-3sintheta)costheta - (3costheta)sintheta = -6sinthetacostheta = -3sin2theta
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dydx = ND = 3cos2theta-3sin2theta = -cot2theta

Passo 3

Para tangente horizontal, exigimos dydx=0, ou seja N=0:
cos2theta = 0 Longrightarrow 2theta = pi2 + kpi Longrightarrow theta = pi4 + kpi2
No intervalo [0,2pi) as soluções são
theta=pi/4,;3pi/4,;5pi/4,;7pi/4
Calculando r=3costheta e convertendo em coordenadas cartesianas x=rcostheta,;y=rsintheta, obtemos apenas dois pontos distintos:
  • Para theta=pi/4 e theta=5pi/4 a posição é (x,y)=(3/2,3/2).
  • Para theta=3pi/4 e theta=7pi/4 a posição é (x,y)=(3/2,-3/2).

Passo 4

Para tangente vertical, exigimos D=0:
sin2theta = 0 Longrightarrow 2theta = kpi Longrightarrow theta = 0,;tfracpi2,;pi,;tfrac3pi2
Calculamos r=3costheta:
  • theta=0 r=3, ponto (x,y)=(3,0).
  • theta=pi r=-3, que em coordenadas cartesianas também é (x,y)=(3,0).
  • theta=pi/2 e theta=3pi/2 dão r=0, ou seja o ponto (0,0).

Resposta

Horizontal: (3/2,,3/2) e (3/2,,-3/2).
Vertical: (3,,0) e (0,,0).

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