Find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point specified by the value of theta.
r=1+2 cos theta, theta=pi / 3

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares r=1+2costheta e pede a inclinação da reta tangente (isto é, dy/dx) no ponto dado por theta=pi/3. Para isso, vamos usar a conversão x=rcostheta, y=rsintheta e calcular
dydx = dfracdydthetadfracdxdtheta
Precisamos também de dfracdrdtheta.

Passo 2

Derivando x=rcostheta e y=rsintheta em relação a theta pela regra do produto, obtemos
dxdtheta = drdthetacostheta - rsintheta, dydtheta = drdthetasintheta + rcostheta
Logo
dydx = dfracdydthetadfracdxdtheta = dr/dtheta;sintheta ;+; rcosthetadr/dtheta;costheta ;-; rsintheta

Passo 3

A partir de r=1+2costheta, derivamos em relação a theta:
drdtheta = -2sintheta

Passo 4

No ponto theta=pi/3 temos sin(pi/3)=tfracraiz32, cos(pi/3)=tfrac12, logo
rl(tfracpi3r) = 1 + 2cdottfrac12 = 2, drdthetal(tfracpi3r) = -2cdottfracraiz32 = -raiz3

Passo 5

Substituindo em tfracdydx, o numerador fica
(-raiz3),tfracraiz32 + 2cdottfrac12 = -tfrac32 + 1 = -tfrac12,
e o denominador
(-raiz3),tfrac12 - 2cdottfracraiz32 = -tfracraiz32 - raiz3 = -tfrac3raiz32

Passo 6

Assim a inclinação é
dydx = -tfrac12-tfrac3raiz32 = 13raiz3 = raiz39

Resposta

A inclinação da reta tangente em theta=pi/3 é raiz39.

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