Find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point specified by the value of theta.
r=2-sin theta, theta=pi / 3

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r = 2 - sintheta
e pede a inclinação da reta tangente em theta = pi/3. Para uma curva polar r(theta), a derivada dydx em termos de theta é dada por
dydx = drdtheta,sintheta + r,costheta drdtheta,costheta - r,sintheta

Passo 2

Vamos calcular drdtheta. Como r(theta)=2-sintheta, temos
drdtheta = -costheta
Em theta=pi/3,
drdtheta|pi/3 = -cos!l(tfracpi3r) = -tfrac12

Passo 3

Agora avaliamos r em theta=pi/3:
rl(tfracpi3r) =2 - sin!l(tfracpi3r) =2 - tfracraiz32 =4 - raiz32

Passo 4

Calculamos o numerador da fórmula de dydx:
N =drdthetasintheta + rcostheta =l(-tfrac12r)l(tfracraiz32r) +l(tfrac4-raiz32r)l(tfrac12r) =4 - 2raiz34 =1 - raiz32

Passo 5

Calculamos o denominador da fórmula de dydx:
D =drdthetacostheta - rsintheta =l(-tfrac12r)l(tfrac12r) -l(tfrac4-raiz32r)l(tfracraiz32r) =2 - 4raiz34 =1 - 2raiz32

Passo 6

A inclinação é
dydx =ND =,1 - tfracraiz32,,tfrac1 - 2raiz32, =2 - raiz31 - 2raiz3 =4 - 3raiz311

Resposta

dydxl|theta=pi/3 = 4 - 3raiz311

Exercícios relacionados