Questão 3) (5,0 ptos).
Mostre que a função f: D(f) subset R^n R, dada por f(x)=|x| é contínua em x=a.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon D(f)subsetR^ntoR, f(x)=|x|
e pede para mostrar que f é contínua em x=a. Vamos usar a definição varepsilon\nobreakdash– de<a de continuidade e a desigualdade triangular.

Passo 2

Seja varepsilon>0. Definimos
de<a = varepsilon
Precisamos mostrar que sempre que
|x-a|<de<a
então
|f(x)-f(a)|<varepsilon

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular de forma reversa. Primeiro,
|x| = |(x-a) + a| <= |x-a| + |a| Longrightarrow |x| - |a| <= |x-a|
Trocando o papel de x e a obtemos
|a| - |x| <= |x-a|
Combinando as duas desigualdades segue
l||x| - |a|r| <= |x-a|

Passo 4

Agora, se |x-a|<de<a então
|f(x)-f(a)| = l||x| - |a|r| <= |x-a| < de<a = varepsilon
Isso prova a continuidade de f em a.

Resposta

A função f(x)=|x| é contínua em qualquer ponto ainR^n.

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