Find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point specified by the value of theta.
r=cos (theta / 3), theta=pi

Passo 1

O enunciado dá a curva no sistema polar
r = cosl(tfractheta3r)
e pede o coeficiente angular da reta tangente no ponto correspondente a theta = pi.
Para isso vamos usar as fórmulas paramétricas em função de theta:
x(theta) = r(theta)costheta, y(theta) = r(theta)sintheta
e então calcular
dydx = tfracdydthetatfracdxdtheta
onde
dxdtheta = r'(theta)costheta ;-; r(theta)sintheta, dydtheta = r'(theta)sintheta ;+; r(theta)costheta

Passo 2

Calculamos primeiro r(pi) e r'(pi).
Como
r(theta) = cosl(tfractheta3r),
temos
r(pi) = cosl(tfracpi3r) = tfrac12, r'(theta) = -tfrac13sinl(tfractheta3r)
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r'(pi) = -tfrac13sinl(tfracpi3r) = -tfrac13cdottfracraiz32 = -tfracraiz36

Passo 3

Agora avaliamos tfracdxdtheta e tfracdydtheta em theta=pi:
dxdtheta|theta=pi = r'(pi)cospi - r(pi)sinpi = l(-tfracraiz36r)(-1) - tfrac12cdot0 = tfracraiz36,
dydtheta|theta=pi = r'(pi)sinpi + r(pi)cospi = l(-tfracraiz36r),0 + tfrac12cdot(-1) = -tfrac12
Portanto o coeficiente angular é
dydx = -tfrac12tfracraiz36 = -tfrac12 cdot 6raiz3 = -3raiz3 = -raiz3

Resposta

O declive da reta tangente no ponto theta=pi é -raiz3.

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