Use a definição de derivada para encontrar f^prime em cada item abaixo.
i) f(x)=(1x^2-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=1x^2-x
usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos seguir esse procedimento passo a passo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos f(x+h):
f(x+h)=1(x+h)^2-l(x+hr)
Logo, a diferença f(x+h)-f(x) é
f(x+h)-f(x) =1(x+h)^2-1x^2-h

Passo 3

Agora simplificamos a parte de frações:
1(x+h)^2-1x^2 =x^2-(x+h)^2x^2(x+h)^2 =-2xh-h^2x^2(x+h)^2
Então
f(x+h)-f(x) =-2xh-h^2x^2(x+h)^2-h =hl(-2x-hx^2(x+h)^2-1r)
Dividindo por h, o quociente de diferença fica
f(x+h)-f(x)h =-2x-hx^2(x+h)^2-1

Passo 4

Agora tomamos o limite quando hto0:
f'(x) =limhto0l(-2x-hx^2(x+h)^2-1r) =-2xx^4-1 =-2x^3-1

Resposta

f'(x)=-2x^3-1

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