Find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point specified by the value of theta.
r=cos 2 theta, theta=pi / 4

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva polar
r = cos 2theta
no ponto correspondente a theta = pi/4. Vamos converter para coordenadas cartesianas e usar
dydx = dydthetadxdtheta

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
x = rcostheta, y = rsintheta
Derivando em relação a theta surge
dxdtheta = drdthetacostheta - rsintheta, dydtheta = drdthetasintheta + rcostheta

Passo 3

Calculemos r e dfracdrdtheta em theta=pi/4:
r(pi/4) = cosl(2cdotpi4r) = cospi2 = 0,
drdtheta = -2sin 2theta ;Longrightarrow; drdtheta|theta=pi/4 = -2sinpi2 = -2

Passo 4

Substituindo em dfracdxdtheta e dfracdydtheta:
dxdtheta|theta=pi/4 = (-2)cospi4 - 0cdotsinpi4 = -2cdotraiz22 = -raiz2,
dydtheta|theta=pi/4 = (-2)sinpi4 + 0cdotcospi4 = -2cdotraiz22 = -raiz2
Logo a inclinação é
dydx = dy/dthetadx/dtheta = -raiz2-raiz2 = 1

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva em theta=pi/4 é 1.

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