Use a definição de derivada para encontrar f^prime em cada item abaixo.
j) f(x)=11+x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=11+x^2 usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
O conteúdo é derivada via limite do quociente de diferença, e vamos montar esse limite e simplificar.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença para f:
f(x+h)-f(x)h = 11+(x+h)^2 - 11+x^2h

Passo 3

Para simplificar, subtraímos as frações no numerador:
11+(x+h)^2 - 11+x^2 = (1+x^2) - l(1+(x+h)^2r)(1+(x+h)^2)(1+x^2) = 1+x^2 - l(1+x^2+2xh+h^2r)(1+(x+h)^2)(1+x^2) = -2xh - h^2(1+(x+h)^2)(1+x^2)

Passo 4

Substituindo de volta e cancelando h:
-2xh - h^2h,(1+(x+h)^2)(1+x^2) = -h(2x + h)h,(1+(x+h)^2)(1+x^2) = -(2x + h)(1+(x+h)^2)(1+x^2)
Agora basta tomar hto0: o fator 2x+h vira 2x e 1+(x+h)^2 vira 1+x^2.

Passo 5

Fazendo o limite:
f'(x) = limhto0-(2x + h)(1+(x+h)^2)(1+x^2) = -2x(1+x^2)^2

Resposta

f'(x) = -2x(1+x^2)^2

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