Find the solution of the differential equation that satisfies the given initial condition.
x+3 y^2 raizx^2+1 d yd x=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x + 3y^2 raizx^2+1,dydx = 0
com a condição inicial y(0)=1. Trata-se de uma equação separável, então vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando dy/dx e separando variáveis, temos
3y^2,dy = -xraizx^2+1,dx
Aqui identificamos os dois integrais que precisamos calcular.

Passo 3

Integrando ambos os lados:
integral 3y^2,dy = integral -xraizx^2+1,dx
O lado esquerdo é
integral 3y^2,dy = y^3 + C1
e o direito, usando u = x^2+1 com du = 2x,dx, fica
integral -xraizx^2+1,dx = -raizx^2+1 + C2
Juntando as constantes em C, obtemos
y^3 = -raizx^2+1 + C .

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
1^3 = -raiz0^2+1 + C implies 1 = -1 + C implies C = 2
Logo,
y^3 = 2 - raizx^2+1 .

Passo 5

Finalmente, isolamos y obtendo a solução explícita:
y = l(2 - raizx^2+1r)^1/3

Resposta

y = l(2 - raizx^2+1r)^1/3

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